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104
年
公務人員高等考試三級
考試
試題
類 科：電力工程、電子工程、醫學工程
科 目：工程數學
考試時間：2小時 座號：
※注意：禁止使用電子計算器。
代號：26620
26720
29620
頁次：4
－
1
甲、申論題部分：（50 分）
不必抄題，作答時請將試題題號及答案依照順序寫在申論試卷上，於本試題上作答者，不予計分。
請以藍、黑色鋼筆或原子筆在申論試卷上作答。
一、請用級數方法求解
xy
'
y2=，且以級數法表示其解，至少求至 x6項。（使用其他非
級數法解不計分）（15 分）
二、設 1
λ
, 2
λ
及3
λ
為一 3×3的實數矩陣 M的整數特徵值（eigenvalues），且其中 2
λ
＝
3
λ
≠1
λ
。M的行列式值（determinant）為 36，且其跡（trace）為 10。令 I為3×3
單位矩陣（identity matrix），請找出（M－I）
2的全部特徵值。（15 分）
三、設 X與Y是兩互相獨立的隨機變數（independent random variable ），且其機率密度
函數（probability density function）分別表示如下：
⎩
⎨
⎧≤≤
=
⎩
⎨
⎧≤≤
=elsewhere
x
yf
elsewhere
x
xf YX
,0
52,1/3
)(
,0
31,1/2
)(
設W＝X＋Y。
求
W的機率密度函數（probability density function）fW (w)。（5分）
畫出 fW (w)之函數圖形。（5分）
四、令區域 D定義為 2040 2≤≤−≤≤ x,xy ，求 dAyx
D4/322 )( +
∫∫ 。（10 分）
代號：26620
26720
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2
乙、測驗題部分：（50 分） 代號：2266
本測驗試題為單一選擇題，請選出一個正確或最適當的答案，複選作答者，該題不予計分。
共20 題，每題 2.5 分，須用 2B 鉛筆在試卡上依題號清楚劃記，於本試題或申論試卷上作答者，不予計分。
1 向量場 F=2xyi＋xeyj＋2zk在點 P = (-1, 0, 1)的旋度（curl）為何？
2i-j+k -j + 2k -ej+2k 3k
2 試用 divergence theorem，求面積分 )( 223 zdxdyxydxdzxdydzxI S++= ∫∫ ，其中 S為一封閉面，包括一圓柱
面)0(
222 bzayx ≤≤=+ 及在 z = 0 及z = b之二圓面積 )( 222 ayx ≤+ 。
ba4
2
3
π
ba4
2
5
π
ba4
4
3
π
ba4
4
5
π
3 定義函數為
ϕ
(x, y, z) = xy-yz+xyz，請計算點 P = (0, -1, 1)在u = i+j+k方向的改變率（rate of change）？
2 -2 5 5−
4 若向量 F=i-3k, G=2j，AGF += 為F+G的2-norm，則 A值為：
i+2j-3k i+2j+3k 14 14
5 一矩陣
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−−
−−
=
113
131
111
M，下列何者錯誤？
M 可對角化
存在矩陣
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−=
100
011
011
P，使得
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
=
−
300
020
002
1MPP
M之特徵值（eigenvalue）為 2, -2, 3
存在可逆矩陣 Q，使得 Q-1MQ = D，則 M與D為相似矩陣（similar matrices）
6 已知
ihg
fed
cba
= 20，則
ihg
fed
ichbga
222
222
−−−
−−−
+++
之值為何？
0 20 40 80
7 設矩陣
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
=
8174
100
010
A，下列何者不是 A的特徵值（eigenvalue）？
2 4 32 + 32 −
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3
8 一矩陣
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−−=
311
121
112
M，下列何者錯誤？
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−−−
−
=
11923
2352
9165
3
M
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=+−
1900
0190
0019
197 23 MMM
M之特徵多項式（characteristic polynomial）為 19197
23
−+−
λλλ
IMMM 13911430 24 +−=
9 試計算複數多項式（complex polynomial）zzzzzp 25)( 346 −+−= 在1=z的圓內有多少個零點（zeros）？
（包括重複數(multiplicities)）
1 2 3 4
10 設C為2=z之逆時針方向之封閉曲線，則 dz
zz z
C
∫−
−
)1( 25 之值為何？
0
π
2i
π
6i
π
10i
11 化簡 )()( ii +− 126 可得：
84 +i 84 −i 84 +− i 84 −− i
12 下列何者為此階梯函數 ⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
≤−
<≤
<≤
=
t,
t,
t,
tf
31
311
100
)( 之拉普拉斯轉換？
ss e
s
e
s3
21 −− − ss e
s
e
s3
22 21 −− − ss e
s
e
s3
21 −
+ ss e
s
e
s3
21 −− +
13 下列那一個常係數齊次偏微分方程式為橢圓型（elliptic）？
0100 2
2
2
2
=
∂
∂
−
∂
∂
xu
yu 09 2
2
=
∂
∂
−
∂
∂
x
u
y
u
04 2
22
2
2
=
∂
∂
+
∂∂
∂
+
∂
∂
yu
yx u
xu 0
2
2
2
2
=
∂
∂
+
∂
∂
yu
xu
14 ==+ y,yxy'xy 23
2？
xC −
1 321xCx − 2
1xCx − 431xCx −
代號：26620
26720
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－
4
15 令0
1
22
2
>
−
+−= t,
ett
tf t
π
π
π
)( ，若
{}
)()( tfLsF =為)(tf 之拉普拉斯轉換（Laplace transform），試求
)2(
π
F？
3
83
π
2
83
π
3
21
π
2
21
π
16 已知週期為
π
2之週期函數 ⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
<<
<<−−
=
π
π
π
π
t,
t,
tf 0
2
0
2
)( ，此週期函數之傅立葉分析級數為
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛+++ K
55
33
2tsintsin
tsin 。由此結果可以推得圓周率
π
的表示法為：
∑
∞
=−
112 1
nn ∑
∞
=−
112 2
nn
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−+
∞
=
∑
2
1
1
)1( 1
1n
n
n
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−+
∞
=
∑
2
1
2
)1( 1
1n
n
n
17 下列何者不為拉普拉斯方程式（Laplace Equation）0
2=∇ u的解？
zxyyx 4+++ zxyzxyyx ++++ 22
zxxyx +− 23 3 )(ln 22 yx +，其中 0
22 ≠+ yx
18 假設隨機變數 X的累積分布為
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
≤
<≤
<≤
<≤
<
=
x
x/
x/
x/
x
xF
7,1
75,43
53,21
31,41
10,
)(
當
當
當
當
當
，請問 2)|5( ≥≤ XXP ＝？
1/4 2/3 1/2 3/4
19 二枚錢幣投擲出現正面之機率分別為 2
1及10
1，若隨機選擇出一枚錢幣並投擲二次，試求第一次出現正面
之機率為何？
20
1 10
1 4
1 10
3
20 假設兩個隨機變數 X和Y的結合機率密度函數（joint probability density function ）為
⎩
⎨
⎧<<<<
=其其
當
0,
10,10 ,4
),( yxxy
yxf ，試問 ？=< )( YXP
1 1/2 1/3 2/3
類科名稱：
104年公務人員高等考試三級考試暨普通考試
科目名稱：工程數學（試題代號：2266)
測驗式試題標準答案
考試名稱：
電力工程、醫學工程、電子工程
單選題數：20題 單選每題配分：2.50分
題號
答案
題號
答案
題號
答案
題號
答案
題號
答案
題號
答案
題號
答案
題號
答案
題號
答案
題號
答案
第1題
D第2題 第3題 第4題 第5題 第6題 第7題 第8題 第9題 第10題
第11題 第12題 第14題 第15題 第16題 第17題 第18題 第19題 第20題
第21題 第22題 第23題 第24題 第25題 第26題 第27題 第28題 第29題 第30題
第31題 第32題 第33題 第34題 第35題 第36題 第37題 第38題 第39題 第40題
第13題
第41題 第42題 第43題 第44題 第45題 第46題 第47題 第48題 第49題 第50題
第51題 第52題 第53題 第54題 第55題 第56題 第57題 第58題 第59題 第60題
第61題 第62題 第63題 第64題 第65題 第66題 第67題 第68題 第69題 第70題
第71題 第72題 第73題 第74題 第75題 第76題 第77題 第78題 第79題 第80題
第81題 第82題 第83題 第84題 第85題 第86題 第87題 第88題 第89題 第90題
第91題 第92題 第93題 第94題 第95題 第96題 第97題 第98題 第99題 第100題
DBDBDADDD
C DBADBBDBA
複選題數： 複選每題配分：
標準答案：
備 註：