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112年公務人員高等考試三級考試試題
類 科
：
電力工程
、
電子工程
、
電信工程
科 目
：
工程數學
考試時間
：
2
小
時
座號
：
※注意：可以使用電子計算器。
代號：
37320
-
37520
頁次：
4
－
1
甲、申論題部分：（50分）
不必抄題，作答時請將試題題號及答案依照順序寫在申論試卷上，於本試題上作答者，不予計分。
請以藍、黑色鋼筆或原子筆在申論試卷上作答。
本科目除專門名詞或數理公式外，應使用本國文字作答。
一、求
2
'' ( ')
yy y
的通解（general solution）。（15分）
二、求 c
zdz
，其中c代表複數平面上逆時針方向繞一圈的單位圓（圓點為圓心
且半徑為1的圓）。（10分）
三、求平面
2 2 1
x y z
與平面
2
x y
之夾角
（
0
0 90
）。（10分）
四、
2 0 0
1 0 2
0 0 3
A
， 求 特 徵 值 （ eigenvalues ） 與 其 對 應 的 特 徵 向 量
（eigenvectors）。（15分）
乙、測驗題部分：（50分） 代號：2373
本試題為單一選擇題，請選出一個正確或最適當答案。
共20題，每題2.5分，須用2B鉛筆在試卡上依題號清楚劃記，於本試題或申論試卷上作答者，不予計分。
1二階微分方程 2
'' ' 12 2sinh ( )
y y y x
，初始值未知，試問其全解（通解加特解）為何？
4 3 2 2
1 2 1 1
(1 )
6 12
x x x x
C e C e e e
4 3 2 2
1 2 1 1
(1 )
12 20
x x x x
C e C e e e
4 3 2 2
1 2 1 1 1
( )
12 10 6
x x x x
C e C e e e
4 3 2 2
1 2 1 1
12 20
x x x x
C e C e e e
2二階微分方程
3 '' 12 2tan(2 )
y y x
，試問其特解為何？
1
sin(2 ) sec(2 ) tan(2 )
6
x ln x x
1
sin(2 ) csc(2 ) cot(2 )
2
x ln x x
1
cos(2 ) csc(2 ) tan(2 )
6
x ln x x
1
cos(2 ) sec(2 ) tan(2 )
6
x ln x x
3函數 2
f(t) t ω
t
t
e sin
，請問其經過拉式轉換（Laplace Transform）後為下列何者？
2 2 2
2( 2)
F(s)
[( 2) ]
S
S
2 2 2
2( 2)
F(s)
[( 2) ]
S
S
2 2 2
( 2)
F(s)
[( 2) ]
S
S
2 2 2
2( 2)
F(s)
[( 2) ]
S
S
代號：
37320
-
37520
頁次：
4
－
2
4矩陣
1 0 1
A 1 1 1
2 1 1
，
1 0 1
B 2 1 0
3 2 5
，試問
1
A
？，
1
B
？
1
2 1 1
1 1 2
1 1 1
A
，1
3.5 1 1.5
5.5 1 1
3.5 1 0.5
B
1
2 1 1
3 1 2
1 1 1
A
，1
2.5 1 0.5
5 1 1
3.5 1 0.5
B
1
2 1 1
3 1 2
1 1 1
A
，1
2.5 1 0.5
1.5 1 1.5
3.5 1 0.5
B
1
2.5 1 1.5
5 1 1
2.5 1 0.5
A
，1
2 1 1
3 1 2
1 1 1
B
5若
( )
f x
{
, 0 1
0, 1 2
x x
x
， 且
2
f x f x
。 若
f x
之 傅 立 葉 級 數 （ Fourier Series ） 為
01
( ) ( cos sin )
k k
k
f x a a kx b kx
，下列何者為非？
0
1
4
a
1
2
2
a
2
2
1
2
a
3
2
2
9
a
6一組聯立方程式以
A B
x
的方式表示如下：
21
2
3
4 1 11 2
4 1 2 1
4 6 7 6
T x T
x
x
其中T為常數，若上式之增廣矩陣（augmented matrix）為C，又此一聯立方程式已知有無限多組解，
試問rank(C)之最大值為何？T又為何？
rank(C)之最大值為3，T=-3 rank(C)之最大值為4，T=3
rank(C)之最大值為2，T=-4 rank(C)之最大值為2，T=3
7兩向量分別為
2
ˆ
ˆ ˆ
( ) 2 8
H t i tj t k
，
ˆ
ˆ ˆ
( ) 3 2 ( )
t
G t ti e j ln t k
，請求出
( ) ( )
d
H t G t
dt
=？（其中
ˆ
i
，
ˆ
j
，
ˆ
k
為三度空間R3各座標軸之單位向量符號，亦即
(1,0,0)
i
，
(0,1,0)
j，
(0,0,1)
k）
2 2 2
ˆ
ˆ ˆ
8(1 ) (2 4 ) (9 ) (48 4 )
t t
lnt t t e i t j t e k
t
2 2 2
ˆ
ˆ ˆ
(1 ) (2 4 ) ( 9 ) (48 4 )
t t
lnt t t e i t j t e k
t
2 2 2
ˆ
ˆ ˆ
8(1 ) (2 4 ) ( 9 ) (24 2 )
t t
lnt t t e i t j t e k
t
2 2 2
ˆ
ˆ ˆ
8(1 ) (2 4 ) (9 ) (48 4 )
t t
lnt t t e i t j t e k
t
代號：
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－
3
8一曲線參數式為
x( ) cos
t
t e t
，
y( ) sin
t
t e t
，z( )
t
t e
，0
π
t
，其單位切線向量為何？（其中
ˆ
i
，
ˆ
j
，
ˆ
k
為三度空間R3之單位向量，
(1,0,0)
i
，
(0,1,0)
j，
(0,0,1)
k）
1 1 1
ˆ
ˆ ˆ
(cos sin ) (cos -sin ) sin
3 3 3
t t i t t j t k
1 1 1
ˆ
ˆ ˆ
(cos sin ) (cos +sin )
3 3 3
t t i t t j k
1 1 1
ˆ
ˆ ˆ
cos sin
3 3 3
ti tj k
1 1 1
ˆ
ˆ ˆ
sin cos
3 3 3
ti j tk
9利用梯度求解曲面
φ
：3 2
4
xy z
在(-1, -1, 2)點之法向量的過程與結果，以下何者錯誤？（其中
ˆ
i
，
ˆ
j
，
ˆ
k
為三度空間R3之單位向量，
(1,0,0)
i
，
(0,1,0)
j，
(0,0,1)
k）
3 2 2 2 3
ˆ
ˆ ˆ
φ= 3 2
y z i xy z j xy zk
曲面
φ
在點(-1, -1, 2)上之法向量為
ˆ
ˆ ˆ
4 12 4
i j k
曲面
φ
在點(-1, -1, 2)之單位法向量為 1
ˆ
ˆ ˆ
( 1 3 1 )
11
i j k
ˆ
ˆ ˆ
8 24 24
i j k
為曲面
φ
在點(-1, -1, 2)之法向量
10 某大學111學年度第二學期工程數學某班共有男生6人，女生5人，期中考試成績如下：
男生：88, 77, 40, 58, 72, 92
女生：84, 60, 74, 50, 95
試求以男、女生做為區分條件時之標準差（standard deviation）各為何？（請選數值最接近者）
男生：16.95；女生：15.78 男生：17.78；女生：16.14
男生：17.78；女生：15.78 男生：16.95；女生：16.14
11 請利用柯西—里曼方程式（Cauchy-Riemann Equation）驗證下列何者非可解析函數（non-analytic
function）？（其中Z為複數）
f(z)
z
f(z) sin
z
2
f(z) 2 1
z z
f(z)
z
e
12 矩陣A=
1 2 1 2 1
0 2 3 3 2
0 0 3 1 2
0 0 0 1 3
0 0 0 0 4
，B=
1 0 0 0 0
2 2 0 0 0
3 1 3 0 0
1 2 1 4 0
2 1 1 1 1
，試問行列式det(AB)=？
0576 22 121
代號：
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4
－
4
13 定義
1
i
，求
12
(1 )
i
的運算結果為何？
-64 -128 -512 -256
14 函數
( )
f t
經拉式轉換後為 21
[ ( )]
( 3)( 2 2)
S
f t S S S
L，試問
( )
f t
應為？
3
4 3 4
( sin cos )
5 5 5
t t
e e t t
3
4 3 4
( sin cos )
5 5 5
t t
e e t t
3
4 4 4
( sin cos )
5 5 5
t t
e e t t
3
4 4 3
( sin cos )
5 5 5
t t
e e t t
15 若
0 2 0 2
1 5 3 5
2 7 6 4
1 3 2 2
A
且
1
B A
，請問行列式
2
det( )
B
為下列何者？
1/900 1/700 1/500 1/300
16 已知矩陣
5 4
1 2
A
具有特徵向量
4
1
及
1
1
，請問下列何者可為其對角化（Diagonalization）矩陣？
6 0
0 1
5 0
0 2
4 0
0 3
3 0
0 2
17 方程式 x 2
e y' 2(x+1)y , y(0) 1/ 6
之解為下列何者？
1
y
(2 4) 2
x
x e
1
y
(2 4) 2
x
x e
1
y
( 2 4) 2
x
x e
1
y
(2 4) 2
x
x e
18 求2
1 1
( )
1
s
s
s
之反拉式轉換（Inverse Laplace Transform）為下列何者？
t
2e t 2
t
2e t 2
t
2e t 2
t
2e t 2
19 求
cosh(at)cos(at)
之拉式轉換為下列何者？（其中a為實數）
2
4 4
2a s
s +4a
2 2
4 4
2a +s
s +4a
2 2
4 4
s 2a
s +4a
3
4 4
s
s +4a
20 已知
sin8
( )
t
f t
t
，5
( )
j t
f t e dt
之值為下列何者？（
1
j
）
j
2
j
2