23
單元
3 數列與級數
國中複習
1. 數列
將一群數排成一列稱為數列，即
a
1
，
a
2
，
a
3
，……，
a
n
，其中
a
1
為首項，a
n
為末項，此數列
共有
n 項。
2. 等差數列
有一個數列
a
1
，
a
2
，
a
3
，……，
a
n
，若滿足
a
2
－
a
1
＝
a
3
－
a
2
＝
a
4
－
a
3
＝……＝
a
n
－
a
n－1
（通常令此差距為
d，稱為公差），
則稱數列為等差數列。
3. 等差數列的第 n 項
一等差數列的首項為
a
1
，公差為
d，則此數列的第 n 項 a
n
＝
a
1
＋（
n－1）d。
4. 等差中項
若
a，b，c 三數依序成等差數列，則 b＝
a＋c
2
。
5. 級數
將一數列
a
1
，
a
2
，
a
3
，……，
a
n
用加號「＋」連結起來稱為級數，
即
a
1
＋
a
2
＋
a
3
＋……＋
a
n
。
6. 等差級數
將一等差數列
a
1
，
a
2
，
a
3
，……，
a
n
用加號「＋」連結起來稱為等差級數，
即
a
1
＋
a
2
＋
a
3
＋……＋
a
n
。
7. 等差級數的和
1
一個等差級數共有 n 項，首項為 a
1
，公差為
d，則此等差級數和為
S
n
＝
n
2
〔
2a
1
＋（
n－1）d〕。
2
一個等差級數共有 n 項，首項為 a
1
，末項為
a
n
，則此等差級數和為
S
n
＝
n
2
（
a
1
＋
a
n
）
。
單元
數列與級數
3
24
高中數學先修教材
1. 等差數列｛a
n
｝如下：
100，98，96，94，……，則此數列的第 36 項為
。
x
2. 等差數列｛a
n
｝：－
50，……，50，總共有 51 項，則此數列的公差為
。
x
3. 等差數列｛a
n
｝的第
3 項 a
3
＝
9，第 9 項 a
9
＝
3，則首項 a
1
＝
。
x
國中基礎能力檢定
25
單元
3 數列與級數
4. 如右圖，每一直行，每一橫列或任一對角線上的三數皆為等差數列，
則
b＝
。
x
5. 由 1 到 100 的所有正整數的和 1＋2＋3＋……＋100＝
。
x
6. 等差數列｛a
n
｝共有
10 項，第 2 項 a
2
＝
12，第 9 項 a
9
＝－
2，則此數列的所有項的和為
。
x
a
b
c
d
9
e
3
f
－
25
26
高中數學先修教材
7. 將所有正整數分組如下：
第
1 組：（1﹐2）；第 2 組：（3﹐4）；第 3 組：（5﹐6﹐7﹐8）；……；
第
k 組：（2
k－1
＋
1﹐2
k－1
＋
2﹐……﹐2
k
）
，其中
k 為大於 2 的正整數；……依此規律，
則第
6 組之中所有正整數的總和為
。
x
8. 等差數列｛a
n
｝首項為－
113，第 2 項為－105，則此數列自第
項開始為正數。
x
9. 有一直角三角形三邊長成等差數列，若此三角形周長為 24，則此三角形的面積為
。
x
27
單元
3 數列與級數
10. 籃球場的看臺觀眾席 D 區有 15 排座位，此區每一排都比其前一排多 1 個座位，阿哲坐在第 6
排，發現此排共有
20 個座位，則觀眾席 D 區總共有
個座位。
x
11. 有大小相同的球若干個，已知全部的球剛好可以
排成一個每邊有
n 個球的正方形。若將全部的球
改排成一個每邊
n＋2 個球的正三角形，也剛好用
完所有的球。則可知全部的球有多少個？
A
36 個 B 64 個 C 100 個 D 144 個。
c
。
x
12. 有一天大寶意外救了國王，國王很高興，答應給大寶一個請求。大寶希望國王從今天起第一
天給他
1 元，第二天給他 2 元，第三天給他 3 元，每天給的錢比前一天多 1 元，連續給 30
天。則大寶總共可以得到
元。
x
28
高中數學先修教材
J
有一個數列
a
1
，
a
2
，
a
3
，……，
a
n
，若滿足
a
2
a
1
＝
a
3
a
2
＝
a
4
a
3
＝……＝
a
n
a
n－1
（通常令此比
值為
r，稱為公比），則稱數列為等比數列。
L：
1
等比數列首項 a
1
，公比
r（其中 a
1
_
0，r_0），則此數列的前 n 項為
a
1
，
a
1
r，a
1
r
2
，
a
1
r
3
，……，
a
1
r
n－1
。
2
首項 a
1
，公比
r，則第 n 項 a
n
＝
a
1
r
n－1
。
等比數列
銜接焦點
1
例題
1
已知數列
｛
a
n
｝
為一等比數列，且
a
1
＝
2，a
2
＝
8，則：
1
此數列的公比為
。
2
第
6 項 a
6
＝
。
3
數字 512 是此數列的第
項。
x
練習
1
已知數列｛
a
n
｝為一等比數列，若
a
3
＝
20，a
4
＝
10，則：
1
此數列的公比為
3
。
2
此數列的首項為
。
3
第 8 項 a
8
＝
3
。
4
5
256
是此數列的第
項。
x
高中先修課程
29
單元
3 數列與級數
J
將一等比數列
a
1
，
a
2
，
a
3
，……，
a
n
用加號「＋」連結起來稱為等比級數，即
a
1
＋
a
2
＋
a
3
＋……＋
a
n
。
1
一個等比級數共有 n 項，首項為 a
1
，公比
r_1，則此等比級數和為
S
n
＝
a
1
（
1－r
n
）
1－r
。
2
一個等比級數共有 n 項，首項為 a
1
，公比為
r＝1，則此等比級數和為 S
n
＝
na
1
。
L：
1
公比 r_1
r
S
n
＝
a
1
＋
a
1
r＋a
1
r
2
＋……＋
a
1
r
n－2
＋
a
1
r
n－1
..............................1
rS
n
＝
a
1
r＋a
1
r
2
＋
a
1
r
3
＋……
＋a
1
r
n－1
＋
a
1
r
n
....................2
由1－2可得（
1－r）S
n
＝
a
1
－
a
1
r
n
! S
n
＝
a
1
（
1－r
n
）
1－r
。
b：
S
n
＝
a
1
（
r
n
－
1）
r－1
。
2
公比 r＝1，則 S
n
＝
a
1
＋
a
1
＋
a
1
＋……＋
a
1
＝
na
1
（每一項都是
a
1
）
。
等比級數
銜接焦點
2
例題
2
試求下列等比級數的和：
1
1＋2＋4＋8＋……＋128＝
。
2
2－4＋8－16＋……＋128＝
。
x
練習
2
試求下列等比級數的和：
1
1＋3＋9＋27＋……＋243＝
。
2
3－9＋27－81＋……＋243＝
。
x
30
高中數學先修教材
J
級數和常以
∑（唸 sigma 或 summation）來表示，即 a
1
＋
a
2
＋
a
3
＋……＋
a
n
＝
n
∑
k＝1
a
k
。
L：
1
數列的一般項為 a
k
。
2
k 之值由下標的 1 到上標 n，依序表出 a
1
，
a
2
，
a
3
，……，
a
n
，再相加起來。
級數和
n
∑
k＝1
a
k
銜接焦點
3
例題
3
1
以 ∑ 表示等差級數和 1＋2＋3＋……＋100＝
4
。
2
以 ∑ 表示等差級數和 1＋3＋5＋7＋……＋99＝
7
。
3
以 ∑ 表示等比級數和 2＋2
2
＋
2
3
＋……＋
2
10
＝
4
。
x
練習
3
1
以 ∑ 表示等差級數和 2＋4＋6＋……＋100＝
4
。
2
以 ∑ 表示等比級數和 3＋3
2
＋
3
3
＋……＋
3
10
＝
4
。
x
31
單元
3 數列與級數
1. 下列哪些數列是等比數列？（多選）
A
1，1，1，1，1
B
1，－1，1，－1，1
C
－
1，－1，1，1，－1
D
1
5
，
1
10
，
1
20
，
1
40
，
1
80
E
1
5
，
1
10
，
1
15
，
1
20
，
1
25
。
c
。
x
2. 已知 a，12，9 三數依序成等比數列，則 a＝
。
x
3. 設｛a
n
｝
是一個等比數列，且
a
2
＝
16，a
3
＝－
32，則：
1
公比 r＝
。
2
首項 a
1
＝
。
3
數字－2048 是此數列的第
項。
x
4. 若一等比級數的首項為 a
1
＝
3，公比為 2，則其前 4 項的和為
。
x
先修銜接能力檢定
32
高中數學先修教材
5. 若一等比級數的首項為 a
1
＝
3，公比為－
1
2
，則其前
4 項的和為
4
。
x
6. 以 ∑ 表示級數和（3＋5×1）＋（3
2
＋
5×2）＋（3
3
＋
5×3）＋……＋（3
10
＋
5×10）＝
8
。
x
7. 等比級數 2－
2
3
＋
2
9
－
2
27
＋
2
81
－
2
243
的和為
5
。
x
8. 有一天二寶意外救了國王，國王很高興，答應給二寶一個請求。二寶希望國王從今天起第一
天給他
1 元，第二天給他 2 元，第三天給他 4 元，每天給的錢是前一天的兩倍，連續給 30
天，則二寶總共可得到
元。
x
33
單元
3 數列與級數
1. 已知數列｛a
n
｝為一等差數列，若
a
3
＝
1，a
5
＝
5，則此數列的
1
公差為
。
2
首項為
。
3
第 8 項 a
8
＝
。
4
前
6 項的總和為
。
x
2. 已知數列｛a
n
｝為一等比數列且公比大於
0，若 a
3
＝
20，a
5
＝
5，則此數列的
1
公比為
3
。
2
首項為
。
3
第 8 項 a
8
＝
3
。
4
前
6 項的總和為
5
。
x
綜合能力檢定
34
高中數學先修教材
3. 級數和
4
∑
k＝1
（
3
k
－
3k＋3）之值為
。
x
4. 某電影院共有 15 排座位，已知每一排均比前排多 2 個座位，若第 7 排有 30 個座位，則可知
電影院總共有
個座位。
x
5. 如右圖，有一邊長為 6 公分的正方形 S
1
，若以
S
1
邊長的一半為
邊長作一正方形
S
2
，再以
S
2
邊長的一半為邊長再作一正方形
S
3
，……，依此規律繼續操作，則
S
1
，
S
2
，
S
3
，
S
4
，
S
5
的面積總
和為
5
平方公分。
x