1
2009
年全國中學生力學競賽初賽考題
全部是單選題，共20題，答對給題分，未答給0分，答錯倒扣題分之1/5，
請將適當的答案填入本競賽所發給的答案卡內
請自行利用本試題卷空白部份或背面作為計算空間
1. (4%)
彈性球之恢復係數的定義為：自空中落地後反彈的速度
v
f
與落地時速度
v
i
的比值，即
恢復係數
r
= v
f
v
i
。一般籃球比賽使用的籃球，裁判會將籃球舉至頭頂後，放手使其自由落下
，若球反彈後高度到達胸口，則此時球的彈性符合標準。若裁判頭頂高度180 cm，胸口高度
160 cm
，則彈性符合標準的籃球之恢復係數是多少？
(A)
2
3
(B)
2
3
(C)
3
2
(D)
8
9
(E)
2 2
3
參考解答：(E)
v
i
= 2g 1.8
v
i
= 2g 1.6
r
=
v
f
v
i
=
2g
1.6
2g
1.8
=
8
9
=
2 2
3
2. (4%)
小明抱著一長方體形的魚缸坐在一車上，魚缸內裝水。請問當車子以等速率繞一圓周
前進時，魚缸內的水面應該接近於下列何者？（箭頭表車子前進的方向，而圓心在左邊）
參考解答：(C)
每一質量為m的水元素除了承受垂直方向的重力mg
外，水平方向的“慣性力”
mR
2
亦可視為疊加在此水
元素中，其結果為“視重力場”（apparent
gravitational field
）由圓心的垂直方向往外漸變化為較
水平，如右圖所示。
3. (4%)
一子彈以速度5m/s，射入一高2h、寬h的木塊
，木塊質量是子彈的99倍，子彈最後停留在木塊中，並
將木塊擊倒（如右圖所示），子彈穿入木塊時間共0.01
秒。請問子彈的入射位置至少約距地面多高？
(A) 2h (B) 1.5h (C) h (D) 0.5h (E) 0.45h
2
參考解答：(C)
假設子彈質量為m。由動量—衝量原理
F
t = mv
F
=
m
5
0.01
= 500m
為使木塊翻倒，對支點的總力矩至少必須大於零
500m x 100m 10 0.5h > 0
x > h
4. (4%)
有一質量為4kg的物體放置在水平地面上，物體
在水平拉力F作用下由靜止開始運動。10秒後拉力大小
減為
1
3
F
，該物體的v-t圖如右圖所示，請問物體所受的
水平拉力的大小F及物體與地面間的動摩擦係數
μ
為分
別為何？（g ＝ 10 m/s
2
）
(A)
F
= 9 N,
μ
k
= 0.125
(B)
F
= 8 N,
μ
k
= 0.100
(C)
F
= 7 N,
μ
k
= 0.150
(D)
F
= 6 N,
μ
k
= 0.125
(E)
F
= 5 N,
μ
k
= 0.100
參考解答：(A)
由v-t圖可以判讀出10秒前加速度為1m/s
2
，10秒後加速度為-0.5m/s
2
，其淨力分別為4N及-2Ｎ
，依此可以列出方程式如下
F
f = 4
1
3
F
f = 2
其中f為摩擦力，以上方程式可以解出F = 9N, f = 5N, 摩擦係數為
μ =
f
mg
=
5
4
10
= 0.125
5. (4%)
在37
o
的固定斜面上，物體B以輕繩繫住，如右
圖所示，各接觸面間之靜摩擦係數皆為0.5，物體 A 之
重量為 W，若恰可成平衡時，則 B之重量為何？
(A)
W
(B)
W
2
(C)
W
3
(D)
W
4
(E)
W
5
參考解答：(D)
取A、B為自由體，靜力平衡方程式為
(W
+ W
B
)
3
5
= 0.5N
A
+T
(1)
(W
+ W
B
)
4
5
= N
A
(2)
取B為自由體，靜力平衡方程式為
0.5N
AB
+ W
B
3
5
= T
(3)
W
B
4
5
= N
AB
(4)
由(1)與(2)消去
N
A
，
W
+ W
B
= 5T
(5)
3
由(3)與(4)消去
N
AB
，
W
B
= T
(6)
由(5)與(6)解出
W
B
W
B
=
W
4
6. (5%)
以等厚度的薄壓克力板做成一圓柱狀的水杯（上面開口，下面封閉），半徑為R，高為
2R
，質量為m，今緩慢的倒入水至全滿，水杯的總質量變為5m，請問水杯與水的共同質心最
接近杯底時水位高度約為多少？
(A)
3
2
R
(B)
5
4
R
(C) R (D)
4
5
R
(E)
1
2
R
參考解答：(E)
空杯的質心高度
=
2
R(2R)
R
2
R(2R)
+
R
2
=
4
5
R
，倒入水的過程中，質心先降後升，若能注意到此現
象則不難判斷(E)是唯一可能的答案。若欲詳解，可以計算如下。
倒入水高度x後，質心高度y為
y
=
m
4
5
R
+ (4m
x
2R
)
x
2
m
+ 4m
x
2R
=
4R
2
+ 5x
2
5(R
+ 2x)
為計算y的最小值，可以令其對x的微分值為零
y
=
10x
5(R + 2x) 10(4R
2
+ 5x
2
)
25(R
+ 2x)
2
= 0
5x
2
+ 5Rx 4R
2
= 0
x
=
5R + 25R
2
+ 80R
2
10
=
5 + 105
10
R
0.5R
7. (5%)
有一輛車以加速度
3g
前進，車上之人以v的速度向上拋一球，若不計空氣阻力，請問
小球在空中時，相對於車上之人的最低速率為何？
(A) 0 (B)
v
2
(C)
3
2
v
(D) v (E) 2v
參考解答：(C)
設拋球時車速為 v
0
t
時間後車速與球速分別為
v
car
= (v
0
+ 3gt)
i
v
ball
= v
0
i
+ (v gt)
j
相對速度為
v
b/c
= ( 3gt)
i
+ (v gt)
j
相對速率為
v
b/c
= ( 3gt)
2
+ (v gt)
2
= 4(gt
v
4
)
2
+
3v
2
4
其極值為
4
v
b/c
=
3
2
v
8. (5%) A
與B兩木塊，以滑輪及兩相同彈簧架設成實驗裝置如下左圖所示，兩木塊的質量
m
B
= 3m
A
，兩彈簧的原長皆為L，彈力常數皆為k，接觸面為光滑面，彈簧與細繩重量可忽略
，細繩的伸縮量亦可以忽略。實驗裝置架設好後釋放木塊，使其達靜力平衡，如下右圖所示。
若此時將細繩剪斷，兩木塊將做週期性振盪，則兩木塊之振幅比為何？
(A) 1:1 (B) 1:3 (C) 3:1 (D) 1:
3
(E)
3
:1
參考解答：(A)
釋放後達靜力平衡時彈簧A的伸長量等於彈簧B的壓縮量。因為B的重量由彈簧A及彈簧B共同承
受，故此變位量大小為
x =
m
B
g
2k
。我們以原長位置為基準來討論，此時A的位置在原長位置左
邊
x
之處，而B的位置在原長位置下面
x
之處。細繩剪斷後A會往右運動而平衡點即原長位置
，故振幅為
x
；B則會往下運動而平衡點即原長位置下面
2x
（因為此時靜重量全部由B承受
），故振幅亦為
x
。
9. (5%)
已知一個半球形吸盤的質量為m，重力加速度
為g；現將兩個吸盤（質量共2m）盤內抽成真空並相吸
住，並以細繩懸掛於牆上，如右圖所示。假設吸盤的半
徑為r，大氣壓力為p若手抓b繩向下拉，欲使兩吸盤
分開而繩不斷裂，則a繩所能承受的張力至少為何？
(A)
2
r
2
p
mg
(B)
2
r
2
p
+ mg
(C)
r
2
p
2mg
(D)
r
2
p
+ 2mg
(E)
r
2
p
+ mg
參考解答：(E)
取上半球為自由體，靜力平衡方程式為
T
= pA + mg
其中T為a繩張力（向上），A為球形斷面積，pA為大氣壓力作用於半球面上的合力（向下），mg
為半球的重量（注意，拉開瞬間兩半球界面並無任何力量）。以
A = r
2
代入，可得
T
=
r
2
p
+ mg
5
10. (5%)
有一單擺擺長為L，擺錘質量為m，剛開始時
擺線與鉛直線的夾角為
，在鉛直線上距懸掛點x處有
一小釘，擺錘可繞此小釘運動，如右圖所示。若要使擺
錘可以繞釘子為中心做圓周運動，則x至少有多少？
(A)
L
5
(1
+ 2cos
)
(B)
L
5
(2
+ 2cos
)
(C)
L
5
(3
+ 2cos
)
(D)
L
5
(4
+ 2cos
)
(E)
L
5
(5
+ 2cos
)
參考解答：(C)
請參考右圖，欲使擺錘繞小釘運動，A點速率至少需要
g(L
x) ，因為此時張力為零而重力恰等於向心力
mg
= m
v
A
2
L
x
v
A
= g(L x)
應用機械能守恆原理於A點及B點
1
2
mv
A
2
+ mg 2(L x) = mgL(1 cos
)
將
v
A
代入後可以解出
x
=
L
5
(3
+ 2cos
)
11. (5%)
右圖的桌面上有一個半圓形橫截面的光滑柱面
，其半徑為R。現以一條細線（假設不會伸長變形）兩
端分別繫著A、B兩小球，其質量分別為2m及m。若B
物體自圖中所示位置開始由靜止開始被A物體牽引而運
動，當B物體到達半圓形頂端時，細繩張力對B物體所
做的功為何？
(A)
2
mgR
(B)
+ 1
2
mgR
(C)
3
mgR
(D)
+ 2
3
mgR
(E)
mgR
參考解答：(D)
首先求出運動速率v。取兩質點為一系統，應用機械能守恆原理於運動前後兩位置
0
=
1
2
(m
+ 2m)v
2
2mg
R
2
+ mgR
v
=
2
3
gR(
1)
為了計算張力對B所做的功，單獨考慮B質點，由功能原理
W
= mgR +
1
2
mv
2
將v代入後可得
W
= +
2
3
mgR
6
12. (5%)
物體以初速
v
0
沿斜角為
之粗糙斜面底部上滑，若已知上行與下行時間之比為1:2，則
滑回底部時末速為若干？（假設上行與下行的動摩擦係數為定值）
(A)
1
2
v
0
(B)
2
3
v
0
(C)
1
3
v
0
(D)
3
4
v
0
(E)
1
4
v
0
參考解答：(A)
右圖為依題意所畫的v-t圖，圖上兩個三角形面積分別為
上行與下行的位移，二者應相等，亦即
1
2
v
0
t
=
1
2
v
2t
v
=
1
2
v
0
13. (5%)
呈上題，物體與斜面間的動摩擦係數為若干？
(A)
1
5
tan
(B)
2
5
tan
(C)
3
5
tan
(D)
4
5
tan
(E) tan
參考解答：(C)
上行加速度為
g(sin
+ μ
k
cos
)
，下行加速度為
g(sin
μ
k
cos
)
，則
上行：
0
= v
0
g(sin
+ μ
k
cos
)t
下行：
v
0
2
= 0 + g(sin
μ
k
cos
) 2t
消去
v
0
後可解出
μ
k
μ
k
=
3
5
tan
14. (5%)
有一混擬土版由兩條鋼繩（BD及FE）作為臨時固定的設施，如圖所示。已知鋼繩BD
的張力為900 N，請問此張力對O點的力矩大小為多少 N-m？
(A)
1500
(B)
1500 2
(C)
2000
(D)
2000 2
(E)
2000 3
參考解答：(B)
力矩的定義為
M
=
r
T
其中位置向量
r
為
r
= 2.5
i
+ 2
j
7
張力
T
方向的單位
向量
為
1
3
i
2
3
j
+
2
3
k
，故
T
= 900(
1
3
i
2
3
j
+
2
3
k )
力矩計算如下
M
=
r
T
= (2.5
i
+ 2
j )
900(
1
3
i
2
3
j
+
2
3
k )
= 900
i
j
k
2.5
2
0
1
3
2
3
2
3
= 900(
4
3
i
5
3
j
k )
= 300(4
i
5
j
3
k )
其大小為
M
= 1500 2
15. (5%)
樑AB承受了梯形的分佈載重，如下圖所示，請問支點A的反力大小？
(A) 6000 N (B) 6500 N (C) 7000 N (D) 7500 N (E) 8000 N
參考解答：(D)
分佈載重可以視為作用於重心的集中力。若不熟悉梯形
形心位置，可以將梯形切為兩個三角形（三角形形心位
置距底邊三分之一的高度），如右圖所示。欲求A點反
力，可以對B點取力矩平衡條件
M
B
= 4.5 4 + 13.5 2 R
A
6 = 0
R
A
= 7.5 kN
8
16. (6%)
有一圓柱體如右圖所示，重量為W，半徑為
r
。圓柱體與垂直牆A及圓柱體與水平面B之間的靜摩擦
係數都是
μ
，請問至少需要多大的力矩M才能使圓柱體
開始轉動？
(A)
Wr
μ
(1
+
μ
)
1
+
μ
2
(B)
Wr
μ
(1
+ 2
μ
)
1
+
μ
2
(C)
Wr
μ
(1
+
μ
)
1
+ 2
μ
2
(D)
Wr
μ
(1
+ 2
μ
)
1
+ 2
μ
2
(E)
Wr
μ
(1
+ 3
μ
)
1
+ 2
μ
2
參考解答：(A)
請參考下圖自由體
F
x
= 0
:
N
A
F
B
= 0
, or
N
A
μN
B
= 0
(1)
F
y
= 0
:
N
B
+ F
A
W = 0
, or
N
B
+
μN
A
W = 0
(2)
M
C
= 0
:
M
F
A
r
F
B
r
= 0
, or
M
μr(N
A
+ N
B
)
= 0
(3)
由(1)及(2)可解出
N
B
=
W
1
+
μ
2
,
N
A
=
μ
W
1
+
μ
2
代入(
3
)
M
=
μ
r (N
A
+ N
B
)
= Wr
μ
(1
+
μ
)
1
+
μ
2
17. (6%)
有一高6 in的三角形支架可以套在一直徑3 in
的圓形鋼管上，如圖所示。支架與鋼管之間的靜摩擦係
數是0.25。當載重W距離圓管中心x太小時，摩擦無法
支撐載重而使得支架可以沿著圓管滑動，而當x大到某
一程度時，支架會開始和圓管卡住，而發揮了支架的功
能。請問此最小x值是多少？
(A) 8 in (B) 9 in (C) 10 in (D) 11 in (E) 12 in
參考解答：(E)
支架開始和圓管卡住時，受力情形如右圖所示
F
x
= 0
:,
N
B
N
A
= 0
(1)
F
y
= 0
:
F
A
+ F
B
W = 0
, or
0.25N
A
+ 0.25N
B
W = 0
(2)
9
由(1)及(2)可解出
N
A
= 2W
此外
M
B
= 0
:
N
A
6 F
A
3 W (x 1.5) = 0
N
A
6 0.25N
A
3 W (x 1.5) = 0
2W
6 0.25 2W 3 W (x 1.5) = 0
可解出
x = 12 in
18. (6%)
將質量4 kg的套管與一彈簧相聯接並安裝於下圖所示的裝置上。套管B可以沿著桿件
AO
滑動。彈簧未伸縮時的長度是0.4 m，彈簧係數是1500 N/m。套管B一開始被用一螺栓固定
在
r = 0.2 m
處，並且整個系統在水平面上作等角速率旋轉，套管B的速率是
v
= 6 m/s
（但是
此時
v
r
= 0
）。假設因為“離心力”超過負荷，螺栓忽然斷裂，使得套管B開始往外移動；請問
套管B移動到
r = 0.5 m
時，
v
為多少？假設桿件AO的質量可以忽略，所有摩擦力亦可忽略。
(A) 1.2 m/s (B) 2.4 m/s (C) 3.6 m/s (D) 6 m/s (E) 15 m/s
參考解答：(B)
套管B的淨力方向一直維持在向心的方向，故套管的角動量會守恆
r
1
m
v
1
=
r
2
m
v
2
其中時間1為螺栓剛斷裂時（
r = 0.2 m
），而時間2為
r = 0.5 m
時，上式可以寫成
r
1
v
,1
= r
2
v
,2
或是
0.2
6 = 0.5 v
,2
v
,2
= 2.4 m/s
19. (6%)
呈上題，請問在
r
= 0.5 m
時，
v
r
約為多少？
10
(A) 2.4 m/s (B) 3.4 m/s (C) 4.4 m/s (D) 5.4 m/s (E) 6.4 m/s
參考解答：(
E
)
整個系統的總機械能在時間1與時間2時必須守恆
T
1
+V
1
= T
2
+V
2
1
2
mv
,1
2
+
1
2
kx
1
2
1
=
1
2
mv
,2
2
+
1
2
mv
r ,2
2
+
1
2
kx
2
2
1
2
4
6
2
+
1
2
1500
(0.2)
2
=
1
2
4
(2.4)
2
+
1
2
4
v
r ,2
2
+
1
2
1500
(0.1)
2
v
r ,2
2
= 41.49
v
r ,2
6.44 m/s
20. (6%)
一個質量為m半徑為r的球體（轉動慣量為
2mr
2
5
）置放於非常尖銳的桌角A上，此
球體被輕輕一推後會先沿著A點轉動，ㄧ直到轉動的角度等於
時，球體會脫離桌角A而落下。
請問
為多少？
(A)
cos
1
5
7
(B)
cos
1
1
2
(C)
cos
1
2
2
(D)
cos
1
15
29
(E)
cos
1
10
17
參考解答：(E)
球體恰脫離A時，桌角作用於球體的正向力（此方向為球心與桌角連線）恰為零，此時球體重
力在此正向的分力恰提供了旋轉的向心力，亦即
mg cos
= m
v
2
r
cos
=
v
2
gr
(1)
其中
v
為球心的速率，此速率可由機械能守恆原理計算。令時間1表示轉角為零時而時間2表示
轉角為
時
T
1
+V
1
= T
2
+V
2
0
+ mgr =
1
2
mv
2
+
1
2
I
2
+ mgr cos
其中
為球體在時間2時的角速率而I為球體的轉動慣量，以
=
v
r
及
I
=
2mr
2
5
代入上式
0
+ mgr =
1
2
mv
2
+
1
2
(
2mr
2
5
)(
v
r
)
2
+ mgr cos
v
2
r
=
10
7
g(1
cos
)
將此式代入(1)式，得到
cos
=
10
7
(1
cos
)
11
cos
=
10
17