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年公務人員特種考試警察人員、一般警察人員考試及
104
年
特種考試交通事業鐵路人員、退除役軍人轉任公務人員考試試題
代號：30430 全一頁
等 別： 三等一般警察人員考試
類 科 別： 消防警察人員
科 目： 工程數學
考試時間： 2小時 座號：
※注意： 禁止使用電子計算器。
不必抄題，作答時請將試題題號及答案依照順序寫在試卷上，於本試題上作答者，不予計分。
一、求解 x
e，3) ，1)0( =。（20 分） yyy 4
3554 −
=+
′
+
′′ 0( −=y′
y
二、 函數 )(
x
f
的拉氏轉換（Laplace Transform）定義為 ，其
中
{}
)(xf 代表 )(
{}
∫∞−
== 0)()()( dxexfxfLsF sx
L
x
f
的拉氏轉換。
已知 )(
x
f
和)(
x
f
′在),0[ ∞連續，拉氏轉換存在。請證明 )(
x
f
′的拉氏轉換為
)0( 。（10 分）
{}
)x=)( fs −(sFfL ′
請推導出
}
x。（10 分）
{
L5cos
三、以級數方法（series method）求解以下的微分方程式初始值問題（initial value problem）
022 =+
′
+
′′ yy
x
y，1)0( =，1)0( =。假設解為 ，求出 6個係數：a0，a1，
a2，a3，a4，a5。（20 分）
y′
y∑
=
=0n
n
nxay ∞
四、考慮函數 ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=z
xy
zyxG n1),,( ，其中 ln(.)是自然對數函數（natural logarithm function）。
求),,( z
y
x
G在點 ⎟
⎠
⎞
⎜3
1
,
1
, 於2i+6j-3k 方向之方向導數（directional derivative）。
（20 分） ⎝
⎛
62
1
五、已知函數 ,)(
π
+=
x
x
f
π
π
<<−
x
的傅立葉級數（Fourier series）為 =)(
x
f
nx
n
n
nsin)1(
2
1
1
∑
∞
=
+
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
π
。利用傅立葉級數收斂的特性可以得到 =−
−
∑
∞
=
+
1
1
)1(
12 1
n
n
n
π
B
A
=−+−+− L
9
1
7
1
5
1
3
1
1。試求出 A和B之值。（20 分）