大學入學考試中心
110 學年度學科能力測驗試題
數學考科
作答注意事項
考試時間：
100 分鐘
題型題數：單選題
6 題，多選題 7 題，選填題第 A 至 G 題共 7 題
作答方式：用
2B 鉛筆在「答案卡」上作答；更正時，應以橡皮擦擦拭，切勿
使用修正液（帶）
。未依規定劃記答案卡，致機器掃描無法辨識答
案者，恐將影響成績並損及權益。
選填題作答說明：選填題的題號是
A，B，C，……，而答案的格式每題可能
不同，考生必須依各題的格式填答，且每一個列號只能在一
個格子劃記。請仔細閱讀下面的例子。
例：若第 B 題的答案格式是
，而依題意計算出來的答案是
8
3
，則考生
必須分別在答案卡上的第
18 列的 與第 19 列的 劃記，如：
例：若第
C 題的答案格式是 ，而答案是
7
50
時，則考生必須分別在答案
卡的第
20 列的 與第 21 列的 劃記，如：
※試題後附有參考公式及可能用到的數值
3
7
8
20 21
50
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0
18
19
1
2
8
4
5
6
7
3
9
0
20
21
1
2
3
4
5
6
8
7
9
0
1
2
3
4
5
6
7
9
0
8
19
18
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數 學 考 科
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第 壹 部 分 ： 選 擇 題 （ 占
6 5 分 ）
一 、 單 選 題 （ 占
3 0 分 ）
說明：第
1 題至第 6 題，每題有 5 個選項，其中只有一個是正確或最適當的選項，請劃記
在答案卡之「選擇（填）題答案區」
。各題答對者，得
5 分；答錯、未作答或劃記多
於一個選項者，該題以零分計算。
1. 設
1
2
0
3
A
。 若
4
a
b
A
c
d
， 則 a b c d
之 值 為 下 列 哪 一 個 選 項 ？
( 1) 158
( 2) 162
( 3) 166
( 4) 170
( 5) 174
2. 五 項 實 數 數 列
1
2
3
4
5
,
,
,
,
a a a a a
的 每 一 項 都 大 於
1， 且 每 相 鄰 的 兩 項 中 ， 都 有 一 數 是
另 一 數 的 兩 倍 。 若
1
10
log 36
a
， 則
5
a
有 多 少 種 可 能 的 值 ？
( 1) 3
( 2) 4
( 3) 5
( 4) 7
( 5) 8
3. 如 圖 ， ABC
為 銳 角 三 角 形 ， P 為
ABC
外 接 圓
外 的 一 點 ， 且 PB 與 PC 都 與 圓
相 切 。 設
BPC
， 試 問 cos A 的 值 為 下 列 哪 一 個 選 項 ？
( 1)
sin 2
( 2)
sin
2
( 3) sin
2
( 4)
cos
2
( 5) cos
2
4. 設
a 與
b 都 是 平 面 上 不 為 零 的 向 量 。 若 2
a
b 與
a
2
b 所 張 成 的 三 角 形 面 積
為
6， 則 3
a
b 與
a
3
b 所 張 成 的 三 角 形 面 積 為 下 列 哪 一 個 選 項 ？
( 1) 8
( 2) 9
( 3) 12
( 4) 13.5
( 5) 16
B
P
C
A
Γ
110 年學測
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數 學 考 科
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- 2 -
5. 設
( )
f x
為 實 係 數 三 次 多 項 式 函 數 ， 滿 足 (
1) ( )
x
f x
除 以
3
2
x
的 餘 式 為
2
x
。
若
(0)
4
f
， 則
(2)
f
的 值 為 下 列 哪 一 個 選 項 ？
( 1) 8
( 2) 10
( 3) 15
( 4) 18
( 5) 20
6. 坐 標 平 面 上 有 一 邊 長 為 3 的 正 六 邊 形
ABCDEF
， 其 中
(3,0), ( 3,0)
A
D
。 試 問 橢 圓
2
2
1
16
7
x
y
與 正 六 邊 形
ABCDEF
有 多 少 個 交 點 ？
( 1) 0
( 2) 2
( 3) 4
( 4) 6
( 5) 8
二 、 多 選 題 （ 占
3 5 分 ）
說明：第
7 題至第 13 題，每題有 5 個選項，其中至少有一個是正確的選項，請將正確選
項劃記在答案卡之「選擇（填）題答案區」
。各題之選項獨立判定，所有選項均答對
者，得
5 分；答錯 1 個選項者，得 3 分；答錯 2 個選項者，得 1 分；答錯多於 2 個
選項或所有選項均未作答者，該題以零分計算。
7. 心 理 學 家 找 了 1000 位 受 試 者 進 行 暗 室 實 驗 ， 每 位 受 試 者 都 要 觀 看 及 辨 識 6、
8、 9 三 張 數 字 卡 ， 發 現 將 實 際 數 字 看 成 某 個 數 字 的 機 率 如 下 表 ：
看 成 數 字
實 際 數 字
6
8
9
其 他
6
0.4
0.3
0.2
0.1
8
0.3
0.4
0.1
0.2
9
0.2
0.2
0.5
0.1
例 如 ： 實 際 數 字 6 被 看 成 6、 8、 9 的 機 率 分 別 為 0 . 4、 0 .3、 0 . 2， 而 被 看 成 其 他
數 字 的 機 率 是 0 . 1。 根 據 上 述 實 驗 結 果 ， 試 選 出 正 確 的 選 項 。
( 1) 如 果 實 際 數 字 是 8， 則 至 少 有 一 半 的 可 能 性 會 被 看 成 是 8
( 2) 如 果 實 際 數 字 是 6， 則 有 六 成 的 可 能 性 會 被 看 成 不 是 6
( 3) 在 6、 8、 9 三 數 字 中 ， 被 誤 認 的 可 能 性 以 9 最 低
( 4) 如 果 被 看 成 的 數 字 是 6， 則 實 際 上 就 是 6 的 可 能 性 不 到 一 半
( 5) 如 果 被 看 成 的 數 字 是 9， 則 實 際 上 就 是 9 的 可 能 性 超 過
2
3
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數 學 考 科
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8. 如 圖 ， L 為 坐 標 平 面 上 通 過 原 點
O
的 直 線 ，
是 以
O
為 圓 心 的 圓 ， 且 L 與
有 一
個 交 點
(3, 4)
A
。 已 知
,
B C 為
上 的 相 異 兩 點 滿 足
BC
OA 。 試 選 出 正 確 的 選 項 。
( 1) L 與
的 另 一 個 交 點 為 ( 4, 3)
( 2) 直 線 BC 的 斜 率 為
3
4
( 3)
60
AOC
( 4)
ABC
的 面 積 為
25 3
2
( 5) B 與 C 在 同 一 象 限 內
9. 某 村 的 村 長 選 舉 設 有 兩 個 投 票 所。已 知 兩 位 候 選 人 在 各 投 票 所 得 到 的 有 效 票 數
比 例 如 下 表 （ 廢 票 不 列 入 計 算 ）：
甲 候 選 人
乙 候 選 人
第 一 投 票 所
40%
60%
第 二 投 票 所
55%
45%
假 設 第 一 投 票 所 與 第 二 投 票 所 的 有 效 票 數 分 別 為 x 與
y
（ 其 中
0,
0
x
y
）
，且 以
總 得 票 數 較 高 者 為 當 選 人 。 根 據 上 述 表 格 ， 試 選 出 正 確 的 選 項 。
( 1) 當 有 效 票 數 的 總 和
x
y
已 知 時 ， 就 可 決 定 當 選 人
( 2) 當
:
x y
的 比 值 小 於
1
2
時 ， 就 可 決 定 當 選 人
( 3) 當
x
y
時 ， 就 可 決 定 當 選 人
( 4) 當 甲 候 選 人 在 第 一 投 票 所 的 有 效 票 數 比 在 第 二 投 票 所 的 有 效 票 數 多 時，就
可 決 定 當 選 人
( 5) 當 乙 候 選 人 在 第 二 投 票 所 的 有 效 票 數 比 在 第 一 投 票 所 的 有 效 票 數 多 時，就
可 決 定 當 選 人
O
L
x
y
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數 學 考 科
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- 4 -
10. 在
ABC
中，已 經 知 道
4
AB
和
6
AC
，此 時 尚 不 足 以 確 定
ABC
的 形 狀 與 大 小。
但 是 ， 只 要 再 知 道 某 些 條 件 （ 例 如 ： 再 知 道
BC
的 長 度 ）， 就 可 確 定
ABC
唯 一
的 形 狀 與 大 小 。 試 選 出 正 確 的 選 項 。
( 1) 如 果 再 知 道 cos A 的 值 ， 就 可 確 定
ABC
唯 一 的 形 狀 與 大 小
( 2) 如 果 再 知 道 cos B 的 值 ， 就 可 確 定
ABC
唯 一 的 形 狀 與 大 小
( 3) 如 果 再 知 道 cosC 的 值 ， 就 可 確 定
ABC
唯 一 的 形 狀 與 大 小
( 4) 如 果 再 知 道
ABC
的 面 積 ， 就 可 確 定
ABC
唯 一 的 形 狀 與 大 小
( 5) 如 果 再 知 道
ABC
的 外 接 圓 半 徑 ， 就 可 確 定
ABC
唯 一 的 形 狀 與 大 小
11. 平 面 上 有 一 梯 形
ABCD
， 其 上 底
10
AB
、 下 底
15
CD
， 且 腰 長
1
AD
BC
。 試 選
出 正 確 的 選 項 。
( 1)
A
B
( 2)
180
B
D
( 3)
BA
BC
0
( 4) BC 的 長 可 能 是 2
( 5)
CB
CD 30
12. 設
(
)
P X 表 示 事 件
X 發 生 的 機 率 ， 而
(
)
P X Y 表 示 在 事 件 Y 發 生 的 條 件 下 ， 事 件
X
發 生 的 機 率 。 今 有
2 顆 黑 球 、 2 顆 白 球 、 3 顆 紅 球 共 7 顆 大 小 相 同 的 球 排 成
一 列 。 設 事 件 A 為
2 顆 黑 球 相 鄰 的 事 件 ， 事 件 B 為 2 顆 黑 球 不 相 鄰 的 事 件 ， 而
事 件 C 為 任
2 顆 紅 球 都 不 相 鄰 的 事 件 。 試 選 出 正 確 的 選 項 。
( 1)
( )
( )
P A
P B
( 2)
2
( )
7
P C
( 3) 2 (
)
5 (
)
2
P C A
P C B
( 4)
(
)
0.2
P C A
( 5)
(
)
0.3
P C B
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5 頁
110 年學測
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數 學 考 科
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13. 設 多 項 式 函 數
3
2
( )
f x
x
ax
bx
c
，其 中
, ,
a b c
均 為 有 理 數。試 選 出 正 確 的 選 項。
( 1) 函 數
( )
y
f x
與 拋 物 線
2
100
y
x
的 圖 形 可 能 沒 有 交 點
( 2) 若
(0) (1)
0
(0) (2)
f
f
f
f
， 則 方 程 式
( )
0
f x
必 有 三 個 相 異 實 根
( 3) 若
1 3i
是 方 程 式
( )
0
f x
的 複 數 根 ， 則 方 程 式
( )
0
f x
有 一 個 有 理 根
( 4) 存 在 有 理 數
, ,
a b c
使 得
(1), (2), (3), (4)
f
f
f
f
依 序 形 成 等 差 數 列
( 5) 存 在 有 理 數
, ,
a b c
使 得
(1), (2), (3), (4)
f
f
f
f
依 序 形 成 等 比 數 列
第 貳 部 分 ： 選 填 題 （ 占
3 5 分 ）
說明：
1.第 A 至 G 題，將答案劃記在答案卡之「選擇（填）題答案區」所標示的列號（14 – 32）
2.每題完全答對給 5 分，答錯不倒扣，未完全答對不給分。
A. 某 機 器 貓 從 數 線 上 原 點 位 置 朝 數 線 的 正 向 移 動，其 移 動 方 式 如 下：以 8 秒 為 一
週 期 ， 每 一 週 期 先 以 每 秒
4 單 位 長 等 速 度 移 動 6 秒 ，再 休 息 2 秒 。 如 此 繼 續 下
去 ， 則 此 機 器 貓 在 開 始 移 動 後
○
14
○
15 秒 會 抵 達 數 線 上 坐 標 為 116 的 位 置 。
B. 坐 標 空 間 中 有 兩 條 直 線
1
2
,
L L
與 一 平 面
E
， 其 中 直 線
1
2
3
5
x
y
z
L
：
， 而
2
L
的
參 數 式 為
1
1 2
1 3
x
y
t
z
t
（
t
為 實 數 ）
。 若
1
L
落 在
E
上 ， 且
2
L
與
E
不 相 交 ， 則
E
的 方 程
式 為
x
○
16
y
○
17
z
○
18
。
C. 從 1,2,3,4,5,6,7,8,9 這 九 個 數 中 任 意 取 出 三 個 相 異 的 數 ， 每 數 被 取 出 的 機 率 皆 相
等 ， 則 三 數 乘 積 是 一 完 全 平 方 數 的 機 率 為
○
19
○
20
○
21
。（ 化 成 最 簡 分 數 ）
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D. 在 坐 標 平 面 上 ，
是 邊 長 為
4 的 正 方 形 ， 其 中 心 位 在 點 (1,1)， 且 各 邊 與 坐 標 軸
平 行 。 已 知 函 數
2
x
y
a
的 圖 形 與
相 交 ， 其 中
a
為 實 數 ， 則
a
的 最 大 可 能 範
圍 為
○
22
○
23
a
○
24 。
E. 將
100
3
49
寫 成 科 學 記 號
100
3
49
10
n
a
，其 中
1
10
a
，且
n
為 正 整 數。若
a
的 整
數 部 分 為
m
， 則 數 對 ( , )
m n
(
○
25
,
○
26
○
27
) 。
F. 如 圖 ， 機 器 人 在 地 面 上 從 一 點 P 出 發 ， 按 照 以 下 規 則 移 動 ： 先 朝 某 方 向 前 進 一
公 尺 後，依 前 進 方 向 逆 時 針 旋 轉
45
；朝 新 方 向 前 進 一 公 尺 後，依 前 進 方 向 順 時
針 旋 轉
90
； 再 朝 新 方 向 前 進 一 公 尺 後 ， 依 前 進 方 向 逆 時 針 旋 轉
45
； 再 朝 新 方
向 前 進 一 公 尺 後，依 前 進 方 向 順 時 針 旋 轉
90
，… …，以 此 類 推。已 知 機 器 人 移
動 的 路 徑 會 形 成 一 個 封 閉 區 域 ， 則 此 封 閉 區 域 的 面 積 為
○
28
＋
○
29
○
30 平 方
公 尺 。（ 化 成 最 簡 根 式 ）
G. 在 四 面 體 ABCD 中 ，
4 6
AB
AC
AD
、
8
BD
CD
，
且
1
cos
3
BAC
， 則 點 D 到
平 面 ABC 的 距 離 為
○
31
○
32 。（ 化 成 最 簡 根 式 ）
P
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數 學 考 科
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參 考 公 式 及 可 能 用 到 的 數 值
1. 首 項 為
a
， 公 差 為 d 的 等 差 數 列 前
n
項 之 和 為
(2
(
1) )
2
n a
n
d
S
首 項 為
a
， 公 比 為
(
1)
r r
的 等 比 數 列 前
n
項 之 和 為
(1
)
1
n
a
r
S
r
2. 三 角 函 數 的 和 角 公 式 ：
sin(
)
sin
cos
cos
sin
A
B
A
B
A
B
cos(
)
cos
cos
sin
sin
A
B
A
B
A
B
tan
tan
tan(
)
1 tan
tan
A
B
A
B
A
B
3.
ABC
的 正 弦 定 理 ：
2
sin
sin
sin
a
b
c
R
A
B
C
（
R
為
ABC
外 接 圓 半 徑 ）
ABC
的 餘 弦 定 理 ：
2
2
2
2
cos
c
a
b
ab
C
4. 一 維 數 據
1
2
:
,
,
,
n
X x x
x
， 算 術 平 均 數
1
2
1
1
1
(
)
n
X
n
i
i
x
x
x
x
n
n
標 準 差
2
2
2
1
1
1
1
(
)
((
)
)
n
n
X
i
X
i
X
i
i
x
x
n
n
n
5. 二 維 數 據
1
1
2
2
( , ) : ( ,
),(
,
),
,(
,
)
n
n
X Y
x y
x y
x y
， 相 關 係 數
1
,
(
)(
)
n
i
X
i
Y
i
X Y
X
Y
x
y
r
n
迴 歸 直 線 （ 最 適 合 直 線 ） 方 程 式
,
(
)
Y
Y
X Y
X
X
y
r
x
6. 參 考 數 值 ： 2 1.414 , 3 1.732 , 5 2.236 , 6 2.449 , 7 2.646 ,
3.142
7. 對 數 值 ：
10
10
10
10
log 2
0.3010, log 3
0.4771, log 5
0.6990, log 7
0.8451
8. 角 錐 體 積 =
1
3
( 底 面 積
高
)