財團法人大學入學考試中心基金會
112學年度學科能力測驗試題
數學
A考科
請於考試開始鈴響起，在答題卷簽名欄位以正楷簽全名
作答注意事項
考試時間：
100分鐘
作答方式：
․選擇（填）題用
2B 鉛筆在「答題卷」上作答；更正時以橡皮擦擦拭，切勿使用修正
帶（液）。
․除題目另有規定外，非選擇題用筆尖較粗之黑色墨水的筆在「答題卷」上作答；更正
時，可以使用修正帶（液）。
․考生須依上述規定劃記或作答，若未依規定而導致答案難以辨識或評閱時，恐將影響
成績。
․答題卷每人一張，不得要求增補。
․選填題考生必須依各題的格式填答，且每一個列號只能在一個格子劃記。請仔細閱讀
下面的例子。
例：若答案格式是
，而依題意計算出來的答案是 ，則考生必須分別在答題卷上
的第
18-1 列的 與第 18-2 列的 劃記，如：
例：若答案格式是
，而答案是
時，則考生必須分別在答題卷的第
19-1 列
的
與第 19-2 列的 劃記，如：
選擇（填）題計分方式：
․單選題：每題有
n
個選項，其中只有一個是正確或最適當的選項。各題答對者，得該
題的分數；答錯、未作答或劃記多於一個選項者，該題以零分計算。
․多選題：每題有
n
個選項，其中至少有一個是正確的選項。各題之選項獨立判定，所
有選項均答對者，得該題全部的分數；答錯
k 個選項者，得該題
2
n
k
n
的分數；但得
分低於零分或所有選項均未作答者，該題以零分計算。
․選填題每題有
n
個空格，須全部答對才給分，答錯不倒扣。
※試題中參考的附圖均為示意圖，試題後附有參考公式及數值。
3
8
7
50
3
18-2
18-1
8
7
19-1 19-2
50
18-1
2
4
5
6
8
7
9
0
1
3
2
4
5
6
8
7
9
0
1
3
18-2
19-1
2
4
5
6
8
7
9
0
1
3
2
4
5
6
8
7
9
0
1
3
19-2
第
1 頁
請記得在答題卷簽名欄位以正楷簽全名 112年學測
共
7 頁
數學
A考科
- 1 -
第 壹 部 分 、 選 擇 （ 填 ） 題 （ 占
85分 ）
一 、 單 選 題 （ 占
30 分 ）
說明：第
1 題至第 6 題，每題 5 分。
1. 若 在 計 算 器 中 鍵 入 某 正 整 數 N， 接 著 連 按 「
」 鍵 （ 取 正 平 方 根 ）
3 次 ， 視 窗 顯
示 得 到 答 案 為
2， 則 N 等 於 下 列 哪 一 個 選 項 ？
(1)
3
2 (2)
4
2 (3)
6
2 (4)
8
2
(5)
12
2
2. 坐 標 平 面 上，以 原 點 O 為 圓 心、1 為 半 徑 作 圓，分
別 交 坐 標 軸 正 向 於
A、 B 兩 點。 在 第 一 象 限 的 圓 弧
上 取 一 點
C 作 圓 的 切 線 分 別 交 兩 軸 於 點 D、E，
如 圖 所 示 。 令
OEC
， 試 選 出 為 tan
的 選 項 。
(1) OE
(2) OC
(3) OD
(4) CE
(5) CD
3. 某 生 推 導 出 兩 物 理 量
,
s t
應 滿 足 一 等 式 。 為 了 驗 證 其
理 論，他 做 了 實 驗 得 到
15 筆 兩 物 理 量 的 數 據
( , )
k
k
s t
，
1, ,15
k
。老 師 建 議 他 將 其 中 的
k
t
先 取 對 數，在 坐 標
平 面 上 標 出 對 應 的 點
( ,log )
k
k
s
t
，
1, ,15
k
，如 圖 所 示；
其 中 第 一 個 數 據 為 橫 軸 坐 標，第 二 個 數 據 為 縱 軸 坐
標 。 利 用 迴 歸 直 線 分 析 ， 某 生 印 證 了 其 理 論 。 試 問
該 生 所 得
,
s t
的 關 係 式 最 可 能 為 下 列 哪 一 選 項 ？
(1)
2
s
t
(2)
3
s
t
(3)
10
s
t
(4)
2
10
s
t
(5)
3
10
s
t
4. 將 數 字 1、 2、 3、 …、 9 等 9 個 數 字 排 成 九 位 數 （ 數 字 不 得 重 複 ） ， 使 得 前 5 位
從 左 至 右 遞 增 、 且 後
5 位 從 左 至 右 遞 減 。 試 問 共 有 幾 個 滿 足 條 件 的 九 位 數 ？
(1)
8!
4!4!
(2)
8!
5!3!
(3)
9!
5!4!
(4)
8!
5!
(5)
9!
5!
2
1
0
-1
-2
-2
-1
2
1
0
y
E
B
C
O
x
θ
D
A
θ
C
112年學測 請記得在答題卷簽名欄位以正楷簽全名
第
2 頁
數學
A考科
共
7 頁
- 2 -
5. 已 知 坐 標 空 間 中 P、 Q、 R 為 平 面 2
3
5
7
x
y
z
上 不 共 線 三 點 。
令
PQ
1
1
1
( , , )
a b c
，
PR
2
2
2
( , , )
a b c
。 試 選 出 下 列 行 列 式 中 絕 對 值 為 最 大 的 選 項 。
(1)
1
1
1
2
2
2
1 1
1
a
b
c
a
b
c
(2)
1
1
1
2
2
2
1
1 1
a
b
c
a
b
c
(3)
1
1
1
2
2
2
1
1
1
a
b
c
a
b
c
(4)
1
1
1
2
2
2
1
1 1
a
b
c
a
b
c
(5)
1
1
1
2
2
2
1
1
1
a
b
c
a
b
c
6. 坐 標 空 間 中，考 慮 邊 長 為 1 的 正 立 方 體，固 定 一 頂 點 O。從 O 以 外 的 七 個 頂 點
隨 機 選 取 相 異 兩 點 ， 設 此 兩 點 為
P、 Q， 試 問 所 得 的 內 積
OP
OQ 之 期 望 值 為 下
列 哪 一 個 選 項 ？
(1)
4
7
(2)
5
7
(3)
6
7
(4)
1 (5)
8
7
二 、 多 選 題 （ 占
30 分 ）
說明：第
7 題至第 12 題，每題 5 分。
7. 某 公 司 有 甲 、 乙 兩 新 進 員 工 ， 兩 人 同 時 間 入 職 且 起 薪 相 同 。 公 司 承 諾 給 甲 、 乙 兩
員 工 調 薪 的 方 式 如 下 ：
甲 ： 工 作 滿
3 個 月，下 個 月 開 始 月 薪 增 加 200 元；以 後 再 每 滿 3 個 月 皆 依 此 方 式
調 薪 。
乙 ： 工 作 滿
12 個 月 ， 下 個 月 開 始 月 薪 增 加 1000 元 ； 以 後 再 每 滿 12 個 月 皆 依 此
方 式 調 薪 。
根 據 以 上 敘 述 ， 試 選 出 正 確 的 選 項 。
(1) 甲 工 作 滿 8 個 月 後 ， 第 9 個 月 的 月 薪 比 第 1 個 月 的 月 薪 增 加 600 元
(2) 工 作 滿 一 年 後 ， 第 13 個 月 甲 的 月 薪 比 乙 的 月 薪 高
(3) 工 作 滿 18 個 月 後 ， 第 19 個 月 甲 的 月 薪 比 乙 的 月 薪 高
(4) 工 作 滿 18 個 月 時 ， 甲 總 共 領 到 的 薪 水 比 乙 總 共 領 到 的 薪 水 少
(5) 工 作 滿 兩 年 後 ， 在 第 3 年 的 12 個 月 中 ， 恰 有 3 個 月 甲 的 月 薪 比 乙 的 月 薪 高
第
3 頁
請記得在答題卷簽名欄位以正楷簽全名 112年學測
共
7 頁
數學
A考科
- 3 -
8. 某 抽 獎 遊 戲 單 次 中 獎 機 率 為 0.1，每 次 中 獎 與 否 皆 為 獨 立 事 件。對 每 一 正 整 數 n，
令
n
p 為 玩 此 遊 戲 n 次 至 少 中 獎 1 次 的 機 率 。 試 選 出 正 確 的 選 項 。
(1)
1
n
n
p
p
(2)
3
0.3
p
(3)
n
p 為 等 差 數 列
(4) 玩 此 遊 戲 兩 次 以 上 ， 第 一 次 未 中 獎 且 第 二 次 中 獎 的 機 率 等 於
2
1
p
p
(5) 玩 此 遊 戲 n 次 且
2
n
時 ， 至 少 中 獎 2 次 的 機 率 等 於 2
n
p
9. 設
1
2
3
, , , ,
n
a a a
a
是 首 項 為
3 且 公 比 為 3 3 的 等 比 數 列 。 試 選 出 滿 足 不 等 式
1
3
1
3
2
3
3
3
4
3
log
log
log
log
( 1)
log
18
n
n
a
a
a
a
a
的 項 數
n 之 可 能 選 項 。
(1) 23
(2) 24
(3) 25
(4) 26
(5) 27
10. 考 慮 坐 標 平 面 上 的 直 線 L： 5
(2
4)
10
0
y
k
x
k
（ 其 中 k 為 一 實 數 ） ， 以 及 長 方
形
OABC，其 頂 點 坐 標 為 (0,0)
O
、
(10,0)
A
、
(10,6)
B
、
(0,6)
C
。設
L 分 別 交 直 線 O C、
直 線
AB 於 點 D、 E。 試 選 出 正 確 的 選 項 。
(1) 當
4
k
時 ， 直 線 L 通 過 點 A
(2) 若 直 線 L 通 過 點 C， 則 L 的 斜 率 為
5
2
(3) 若 點 D 在 線 段 OC 上 ， 則 0
3
k
(4) 若
1
2
k
， 則 線 段 DE 在 長 方 形 OABC 內 部 (含 邊 界 )
(5) 若 線 段
DE 在 長 方 形 OABC 內 部 (含 邊 界 )， 則 L 的 斜 率 可 能 為
3
10
112年學測 請記得在答題卷簽名欄位以正楷簽全名
第
4 頁
數學
A考科
共
7 頁
- 4 -
11. 坐 標 平 面 上 ， 設 A、 B 分 別 表 示 以 原 點 為 中 心 ， 順 時 針 、 逆 時 針 旋 轉
90
的 旋 轉
矩 陣。 設
C、D 分別表示以直線
x y
、
x
y
為鏡射軸的鏡射矩陣。試選出正確的選項。
(1) A、 C 將 點 (1,0)映 射 到 同 一 點
(2)
A
B
(3)
1
C D
(4)
AB CD
(5) AC BD
12. 令 ( ) sin
3 cos
f x
x
x
， 試 選 出 正 確 的 選 項 。
(1) 鉛 直 線
6
x
為
( )
y
f x
圖 形 的 對 稱 軸
(2) 若 鉛 直 線
x a
和 x b
均 為
( )
y
f x
圖 形 的 對 稱 軸 ， 則
( )
( )
f a
f b
(3) 在 區 間 [ 0 , 2 )
中 僅 有 一 個 實 數
x 滿 足 ( )
3
f x
(4) 在 區 間 [ 0 , 2 )
中 滿 足
1
( )
2
f x
的 所 有 實 數 x 之 和 不 超 過 2
(5)
( )
y
f x
的 圖 形 可 由
2
4sin
2
x
y
的 圖 形 經 適 當 （ 左 右 、 上 下 ） 平 移 得 到
三 、 選 填 題 （ 占
25 分 ）
說明：第
13 題至第 17 題，每題 5 分。
13. 某 間 新 開 幕 飲 料 專 賣 店 推 出 果 汁 、 奶 茶 、 咖 啡 三 種 飲 料 ， 前 3 天 各 種 飲 料 的 銷
售 數 量（ 單 位：杯 ）與 收 入 總 金 額（ 單 位：元 ）如 下 表，例 如 第 一 天 果 汁、奶 茶、
咖 啡 的 銷 售 量 分 別 為
60 杯 、 80 杯 與 50 杯 ， 收 入 總 金 額 為 12900 元 。
已 知 同 一 種 飲 料 每 天 的 售 價 皆 相 同 ， 則 咖 啡 每 杯 的 售 價 為
○
13-1
○
13-2 元 。
果 汁 （ 杯 ）
奶 茶 （ 杯 ）
咖 啡 （ 杯 ）
收 入 總 金 額 （ 元 ）
第
1 天
60 80 50 12900
第
2 天
30 40 30 6850
第
3 天
50 70 40 10800
第
5 頁
請記得在答題卷簽名欄位以正楷簽全名 112年學測
共
7 頁
數學
A考科
- 5 -
14. 設 ,
a b 為 實 數 （ 其 中
0
a
） ， 若 多 項 式
2
(2
)
12
ax
a b x
除 以
2
(2
)
2
x
a x
a
所 得
餘 式 為
6， 則 數 對
( , )
a b
(
○
14-1 ,
○
14-2
○
14-3 )。
15. 設 O、 A、 B 為 坐 標 平 面 上 不 共 線 三 點 ， 其 中 向 量
OA 垂 直
OB 。 若 C、 D 兩 點 在
直 線
AB 上，滿 足
OC
3
5
OA
2
5
OB、
3
8
AD
BD
，且
OC 垂 直
OD，則
OB
OA
○
15-1
○
15-2
。
（化為最簡分數）
16. 令 E： x+z=2 為 坐 標 空 間 中 過 三 點
(2, 1,0)
A
、
(0,1,2)
B
、
( 2,1,4)
C
的 平 面 。 另 有 一
點
P 在 平 面 z=1 上 且 其 於 E 之 投 影 點 與 A、 B、 C 三 點 等 距 離 。 則 點 P 與 平 面 E
的 距 離 為
○
16-1
○
16-2
。 （化為最簡根式）
17. 坐 標 空 間 中 有 兩 不 相 交 直 線
1
1
:
1
2
x
t
L
y
t
z
t
，
t 為 實 數 、
2
2 2
:
5
6
x
s
L
y
s
z
s
，
s 為 實 數 ， 另
一 直 線
3
L 與
1
L 、
2
L 皆 相 交 且 垂 直。若 P、Q 兩點分別在
1
L 、
2
L
上且與
3
L
之距離皆為
3，
則
P、Q 兩點的距離為
○
17-1
○
17-2
。 （化為最簡根式）
112年學測 請記得在答題卷簽名欄位以正楷簽全名
第
6 頁
數學
A考科
共
7 頁
- 6 -
第 貳 部 分 、 混 合 題 或 非 選 擇 題 （ 占
15 分 ）
說明︰本部分共有
1 題組，單選題每題 3 分，非選擇題配分標於題末。限在標示題號作答
區內作答。選擇題與「非選擇題作圖部分」使用
2B 鉛筆作答，更正時以橡皮擦擦
拭，切勿使用修正帶（液）。非選擇題請由左而右橫式書寫，作答時必須寫出計算
過程或理由，否則將酌予扣分。
18-20 題為題組
坐 標 平 面 上
O 為 原 點 ， 給 定
(1,0)
A
、
( 2,0)
B
兩 點 。 另 有 兩 點
P、 Q 在 上 半 平 面 ，
且 滿 足
AP OA
、
BQ OB
、
POQ
為 直 角 ， 如 圖 所 示 。 令
AOP
。 根 據 上 述 ，
試 回 答 下 列 問 題 。
18. 線段 OP 長 為 下 列 哪 一 選 項 ？ （ 單 選 題 ， 3 分 ）
(1)
sin
(2)
cos
(3)
2sin
(4)
2cos
(5)
cos 2
19. 若
3
sin
5
， 試 求 點 Q 的 坐 標 ， 並 說 明
BQ = 2
AP 。 （ 非 選 擇 題 ， 6 分 ）
20.（ 承 19 題 ） 試 求 點 A 到 直 線 BQ 的 距 離 ， 並 求 四 邊 形 PABQ
的 面 積
。
（ 非 選 擇 題 ，
6 分 ）
B
O
A
P
Q
第
7 頁
請記得在答題卷簽名欄位以正楷簽全名 112年學測
共
7 頁
數學
A考科
- 7 -
參 考 公 式 及 可 能 用 到 的 數 值
1. 首 項 為
a ， 公 差 為 d 的 等 差 數 列 前 n 項 之 和 為
(2
(
1) )
2
n a
n
d
S
首 項 為
a ， 公 比 為 (
1)
r r ¹ 的 等 比 數 列 前 n 項 之 和 為
(1
)
1
n
a
r
S
r
2. 三 角 函 數 的 和 角 公 式 ： sin(
) sin cos
cos sin
A B
A
B
A
B
cos(
) cos cos
sin sin
A B
A
B
A
B
tan
tan
tan(
)
1 tan tan
A
B
A B
A
B
3.
ABC
的 正 弦 定 理 ：
2
sin
sin
sin
a
b
c
R
A
B
C
（
R
為
ABC
外 接 圓 半 徑 ）
ABC
的 餘 弦 定 理 ：
2
2
2
2
cos
c
a
b
ab
C
4. 一 維 數 據
1
2
: , , ,
n
X x x
x
，
算 術 平 均 數
1
2
1
(
)
X
n
x
x
x
n
標 準 差
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
1
[(
)
(
)
(
) ]
[(
)
]
X
X
X
n
X
n
X
x
x
x
x
x
x
n
n
n
5. 二 維 數 據 (X,Y)： (x
1
,y
1
),(x
2
,y
2
),… , (x
n
,y
n
)
相 關 係 數
1
1
2
2
,
(
)(
) (
)(
)
(
)(
)
X
Y
X
Y
n
X
n
Y
X Y
X
Y
x
y
x
y
x
y
r
n
迴 歸 直 線 （ 最 適 合 直 線 ） 方 程 式
,
(
)
Y
Y
X Y
X
X
y
r
x
6. 參 考 數 值 ： 2 1.414 , 3 1.732 , 5 2.236 , 6 2.449 ,
3.142
7. 對 數 值 ： log 2 0.3010, log3 0.4771, log5 0.6990, log 7 0.8451