1
【
2024 版_新課綱_統測數學 C 歷屆試題_分單元】
ch01_坐標系與函數圖形
若點
( a , b )落在第一象限且滿足
2
10
b
a
= − +
，則
2
a b
的最大值為何？
(A) 10 (B) 21 (C) 23 (D) 25 【113C08】
Ans：(D)
在生成式人工智慧技術中，利用函數變換的概念可將資料的分布狀態作轉換。若有十筆原始
資料
x(以●表示)分布在區間[ 2 , 5 ]，如圖(二)(a)，現將此十筆資料經線型函數
( )
f x
變換後，
其分布區間為
[ 4 , 13 ]，如如圖(二)(b)，則下列何者可為達成任務的
( )
f x
？
(A)
( )
2
4
f x
x
=
+
(B)
( )
4
4
f x
x
=
−
(C)
( )
3
2
f x
x
=
−
(D)
( )
2
3
f x
x
=
−
【113C10】
Ans：(C)
已知
A、B 為實數，若不等式
6
Ax
B
+
的解為
2
x −
或
6
x
，則
2A + B =？
(A) −12 (B) −6 (C) 6 (D) 12 【112C11】
Ans：(C)
公益文教基金會調查技術型高中三年級學生每天手機使用時間介於
3.1 至 4.9 小時之間(含)。
若
x(單位：小時)為其中一位參與調查的技術型高中學生每天手機使用時間，且將上述使用時
間範圍用
x a
b
−
來表示，則
ab =
？
(A) 3.2 (B) 3.6 (C) 3.8 (D) 4.2 【111C03】
Ans：(B)
不等式
2
5
4
2
x
x
x
−
+
的解為何？
(A)
1
1
x
−
(B)
1
2
x
−
(C)
2
1
x
−
(D)
0
4
x
【111C08】
Ans：(A)
2
若
x 為實數，則
2
2
9
2
2
x
x
− +
+
的最小值為何？
(A) 2 (B)
5
2
(C)
13
2
(D) 6 【110C20】
Ans：(A)
設
a、b 為實數，且不等式
2
6
0
x
x b
− +
+
與不等式
5
x a
+
的解完全相同，則
a b
+ =
？
(A) −13 (B) −7 (C) 7 (D) 13 【106C12】
Ans：(D)
已知
a、b 為實數，若不等式
2
x
ax
b
+
之解為
5
3
x
−
，則
a b
+ =
？
(A) −17 (B) −13 (C) 13 (D) 17 【104C01】
Ans：(D)
下列方程式所對應的圖形中，何者恆在
x 軸的上方？
(A)
2
5
3
1
y
x
x
=
−
+
(B)
2
3
5
1
y
x
x
=
+
−
(C)
2
5
3
y
x
x
=
−
+
(D)
2
3
5
y
x
x
=
+ −
【
104C02】
Ans：(A)
設
(0, 0)
A
、
(2, 2)
B
為平面上二點，若
( , )
P m n
在線段
AB
上且
:
3:1
AP PB =
，則 m n
+ 之值為
何？
(A) 2 (B) 2.5 (C) 3 (D) 3.5 【103C07】
Ans：(C)
設
x > 0，y > 0，
6
x
y
+ =
，則
2
xy
之最大值為何？
(A) 16 (B) 18 (C) 25 (D) 32 【103C18】
Ans：(D)
下列何者為不等式
6
3
3
2
− x
x
之解？
(A)
2
−
x
或
1
x
(B)
1
2
−
x
(C)
2
1
−
x
(D)
1
−
x
或
2
x
【101C01】
Ans：(C)
3
在
xy 平面上，P 和 Q 為拋物線
2
x
y =
上的兩點，若
P 和 Q 的 x 坐標分別是 1
− 和 2，則 P 和 Q
的距離為何？
(A) 1 (B) 2 (C) 4 (D)
2
3
【101C08】
Ans：(D)
設
a、b、c 為實數，且二次函數
2
y
ax
bx c
=
+
+
的圖形如圖
(二)所示，則點
2
(
4
,
)
P b
ac
abc
−
在第幾象限？
(A) 第一象限
(B) 第二象限
(C) 第三象限
(D) 第四象限 【100C10】
Ans：(A)
設
a、b 為實數，若一元二次不等式
2
0
ax
x b
+ +
的解集合為
1
2
,
5
3
x
x
x
−
為實數
，則
2a b
+ =
？
(A) −5 (B) −4 (C) 4 (D) 5 【100C23】
Ans：(B)
平面上兩點
A( 5 , −1 )，B( 3 , 4 )。若 C 點在 y 軸上，且滿足
AC
BC
=
，則
C 點坐標為何？
(A) ( 0 ,
1
10
−
) (B) ( 0 ,
1
15
−
) (C) ( 0 ,
1
15
) (D) ( 0 ,
1
10
) 【98C01】
Ans：(A)
x
y
O
圖(二)
4
ch02_三角函數
若
180
270
且
sin
sin 2024
=
，則
=
？
(A)
204
(B) 214 (C) 224 (D)
234
【113C03】
Ans：(C)
已知
sin tan
0
且
cos cot
0
，則
為第幾象限角？
(A) 一 (B) 二 (C) 三 (D) 四 【113C06】
Ans：(B)
有一個在水平地面的圓形輪子，其半徑為
1 單位長。輪子上 A 點與地面接觸，如圖所示，當
輪子向右滾動，相對於圓心而言，
A 點以順時針轉動θ角，且輪子中心 O 前進 x 單位長的時
候，
A 點距離地面的高度為 y 單位長。在坐標平面上，若在
0
2
x
的範圍中，y 可以表示
為 x 的函數 ( )
f x ，則下列何者為
( )
y
f x
=
的圖形？ 【113C17】
Ans：(D)
5
在
ABC
中，
90
B
=
，如圖所示，且
3
AC =
、
2
BC =
，則
tan A =
？
(A)
3
5
(B)
2
5
(C)
1
5
(D)
1
3 5
【112C03】
Ans：(B)
已知
ABC
三邊長分別為
7
AB =
，
3
BC =
，
5
CA =
，如圖所示，試求
BC
邊上的高
AD =
？
(A)
5 3
4
(B)
4 3
3
(C)
5 3
3
(D)
5 3
2
【112C06】
Ans：(D)
一公路依水平地形迂迴而建，如圖所示。從
O 地到 A 地、A 地到 B 地、B 地到 C 地的距離
分別為
2、6、4 公里(km)，而
OA
與 AB 的夾角及 AB 與
BC
的夾角均為
120
，則
C 地到 O 地
的直線距離為多少公里？
(A)
2 11
(B)
2 21
(C) 2 31
(D)
2 41
【112C18】
Ans：(B)
假設風力發電的風車旋轉軸平行於地面，且有三葉片，
T 點為某葉片的頂端，如圖所示，我
們想了解
T 點在風車旋轉過程中距離地面的高度變化。已知風車逆時針方向等速旋轉一圈需
時
4 秒，且每個葉片長度皆為 40 公尺，其旋轉中心離地面 70 公尺。若風車開始運轉時，T
點恰在離地面最高的位置上，且
x 秒後可用 ( ) 40sin(
) 70
2
f x
ax
=
+
+
(其中常數 a > 0 且
0
4
x
)來描述 T 點離地面的高度(單位：公尺)，則 a 可為下列何者？ 【112C25】
(A)
3
(B)
2
(C)
(D)
4
3
Ans：(B)
A
C
B
3
2
A
B
C
D
3
5
7
6
下列何者錯誤？
(A)
sin 2
y
x
=
之週期為
2
(B)
3sin
y
x
=
之週期為
2
(C)
cos 2
y
x
=
之週期為
2
(D)
4 cos
y
x
=
之週期為
2
【111C04】
Ans：(C)
若
ABC
之三邊長為 4、5、6，則其外接圓直徑為何
(A)
8
7
(B)
12
7
(C)
16
7
(D)
20
7
【111C22】
Ans：(C)
已知
ABC
的面積為
3 2
2
，其中
3
AB =
、
2
AC =
，且
BAC
為鈍角。若
BC
的長度為 a，則
2
a =
？
(A)
13 6 2
−
(B)
13 2 6
−
(C)
13 2 6
+
(D)
13 6 2
+
【111C23】
Ans：(D)
若
tan
sec
5
+
=
，則
tan
sec
−
=
？
(A)
3
5
− (B)
1
5
− (C)
1
5
(D)
3
5
【110C02】
Ans：(B)
已知
ABC
中，a、b、c 分別為 A
、 B
、
C
之對邊長。若 ab：bc：ca = 3：4：6，則
sinA：sinB：sinC =？
(A) 4：3：2 (B) 4：2：3 (C) 2：3：4 (D) 3：2：4 【110C14】
Ans：(D)
若
tan 480
a =
，
sec135
b =
，
cos( 60 )
c =
−
，則下列有序數對何者在第二象限？
(A) ( b , c ) (B) ( a , b ) (C) ( c , a ) (D) ( c , b ) 【109C02】
Ans：(A)
7
設函數
( )
2 cos 3
1
f x
x
=
−
，
[0, 2 ]
x
，若其圖形和 x 軸的交點個數與函數的最大值分別為
a、b，則
ab =
？
(A) 6 (B) 9 (C) 12 (D) 18 【109C11】
Ans：(A)
在
ABC
中，若 A
之內角平分線交
BC
於 D，其中
3
AB =
、
6
AC =
，且
120
A
=
，如圖，
則
CD =
？
(A)
26
(B)
3 3
(C)
2 7
(D)
7
【109C23】
Ans：(C)
已知扇形的面積為
1 且其周長為 5，試問此扇形的半徑為何？
(A)
2
5
(B)
1
2
(C) 1 (D) 2 【108C05】
Ans：(D)
有一梯子斜靠於牆上，且梯子、地面及牆面構成一個
30
、
60
、
90
的直角三角形。若梯子
沿牆面下滑
1
2
公尺時，則梯子、地面及牆面構成一個
45
、
45
、
90
的直角三角形。試問
梯長為多少公尺？
(A)
3
2
2
+
(B)
6
2
2
+
(C)
3
2
+
(D)
6
2
+
【108C06】
Ans：(C)
若點
P( x , y )為有向角θ終邊上一點且
0
xy
，則下列何者正確？
(A)
sin
0
x
(B)
cos
0
y
(C)
cot
0
x
(D)
csc
0
y
【108C16】
Ans：(D)
設三角形三邊長分別為
5、6、7，若三角形面積為 A，內切圓半徑為 r，則 A r
= ？
(A) 24 (B) 35 (C) 105 (D) 210 【107C07】
Ans：(A)
A
B
C
D
8
cos 0
cos10
cos 20
cos30
cos350
cos360
+
+
+
+ +
+
=
？
(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 【107C08】
Ans：(B)
若
tan csc
1 6cos
= − +
，其中
為第三象限角時，則
tan
=
？
(A)
2 2
(B)
3
(C)
3
−
(D)
2 2
−
【106C02】
Ans：(A)
求
2
2
2
2
2
sin 18
sin 36
sin 54
sin 72
sin 90
+
+
+
+
=
？
(A) 2 (B) 2.5 (C) 3 (D) 3.5 【106C03】
Ans：(C)
設三角形的三邊長為
7、24、25，其內切圓半徑為 r，外接圓半徑為 R，求
r
R
=
？
(A) 0.12 (B) 0.24 (C) 0.25 (D) 0.48 【106C05】
Ans：(B)
設
ABC
三內角 A
、 B
、
C
的對應邊分別為
a、b、c，且
2
3
a
bc
b c
−
= −
，求 A
之值。
(A)
2
(B)
2
3
(C)
3
4
(D)
5
6
【105C03】
Ans：(B)
設
sec
csc
1
+
=
，求
sec csc
之值。
(A)
2 1
+
(B)
2 1
−
(C)
2 1
−
−
(D)
2 1
−
+
【105C04】
Ans：(C)
已知
3 1
sin
2
−
=
，則
sin
sin
1 cos
1 cos
+
=
+
−
？
(A) 2( 3 1)
− (B) 4( 3 1)
− (C) 2( 3 1)
+ (D) 4( 3 1)
+ 【104C06】
Ans：(C)
已知三角形的三邊長分別為
3 公分、3 公分、4 公分，則此三角形之外接圓半徑為何？
(A)
2 5
5
(B)
3 5
5
(C)
7 5
10
(D)
9 5
10
【104C24】
Ans：(D)
9
在
ABC
中，設三邊長之比
:
:
7 : 5: 3
AB BC CA =
，則
ABC
之最大內角為何？
(A)
75
(B)
90
(C)
120
(D)
135
【103C09】
Ans：(C)
若
ABC
中，
5
AB =
、
9
BC =
、
10
CA =
，則
cos(
)
A
B
+ =
？
(A)
13
15
−
(B)
7
15
−
(C)
7
15
(D)
13
15
【102C06】
Ans：(A)
已知
為第三象限角，且
3
tan
4
=
，則
2 sin
1
3 4 cos
−
=
+
？
(A)
1
31
(B)
13
7
(C) 11 (D) 31 【102C12】
Ans：(C)
試問下列哪一個三角函數值與
250
sec
相等？
(A)
−
70
csc
(B)
−
110
sec
(C)
−
340
sec
(D)
−
160
csc
【101C14】
Ans：(D)
2
2
2
2
2
2
sin 210
cos 570
sec 930
tan 1290
csc 1650
cot 2010
+
+
−
+
−
=
？
(A) −1 (B) 1 (C)
3
2
(D) 3 【101C21】
Ans：(D)
ABC
中，若
13
=
BC
，
3
=
AC
，
60
=
A
，則
cosC
之值為何？
(A)
2 3
13
−
(B)
1
13
−
(C)
1
13
(D)
2 3
13
【
101C22】
Ans：(C)
已知
0
,
。下列個選項中，何者恆為正確？
(A) 若
cos
cos
=
，則
=
(B) 若
cos(
)
0
−
=
，則
=
(C) 若
sin
sin
=
，則
=
(D) 若
sin(
)
0
−
=
，則
=
【100C08】
Ans：(A)
10
下列各三角函數值，何者數值最小？
(A) sin885° (B) cos ( –430° ) (C) tan 131° (D) sin ( –2010° ) 【99C03】
Ans：(C)
設A、B、C為一圓之圓周上三點，若
4
AB =
、
6
BC =
、
8
CA =
，則該圓之面積為何？
(A)
256
15
(B)
256
13
(C)
81
4
(D)
81
2
【99C14】
Ans：(A)
在
ABC
中，若 D 點在線段
AC
上且
:
1: 2
AD DC =
，又
30
BAD
=
，
60
BDC
=
，則
DCB
的角度為何？
(A) 30° (B) 45° (C) 60° (D) 75° 【99C22】
Ans：(A)
若
sin 230
k
=
，則
tan 50 =
？
(A)
2
1 k
k
−
−
(B)
2
1
k
k
−
−
(C)
2
1 k
− −
(D)
2
1
1 k
−
−
【98C03】
Ans：(B)
已知四邊形
ABCD(按順序)中，
8
AB =
，
5
BC =
，
3
AD =
，且
60
ABC
ADC
=
=
，則
CD
之長為多少？
(A) 5 (B) 6 (C) 7 (D) 8 【98C04】
Ans：(D)
11
ch03_平面向量
在坐標平面上，已知
O 為原點，A( 2 , 1 )，B( −3 , 2 )，如圖所示，若 OP OB tOA
=
+
，其中
1
1
t
−
，則所有滿足
P 點所形成的線段長為多少？
(A) 3 2
(B) 2 5
(C) 3 3
(D) 4 2 【113C25】
Ans：(B)
在坐標平面上，已知
ABC
的三個頂點坐標為
A( x , y )、B( 2 , 0 )、C( 0 , 0 )，線段 AB 的中點
為
D，線段
BC
的中點為
E，線段
AC
的中點為
F。若內積
0
DE DF
=
，則下列何者為真？
(A)
ABC
為銳角三角形
(B)
ABC
為鈍角三角形
(C)
BCA
為直角
(D)
BAC
為直角
Ans：(C) 【112C04】
已知平面上兩向量
(2
1, 3)
a
x
=
+ −
、
(3,
2)
b
x
=
−
，滿足
2
2
2
a b
a
b
−
=
+
，則 x = ？
(A) 3 (B) 1 (C) −1 (D) −3 【111C16】
Ans：(D)
已知
a
、
b
、
c
為平面上的三向量，且
0
a c
=
，
0
b c
=
，
5
a = ，
12
b =
，
13
c =
。若
0
a b
，則
a b
=
？
(A) −30 (B) −60 (C) −65 (D) −156 【110C16】
Ans：(B)
設平面上三點
A( 1 , 1 )、B( 5 , −2 )、C( 5 , 2 )，且
AC
在 AB 的正射影為 AD ，若
( , )
DC
x y
=
，
則
x
y
+ =
？
(A)
34
25
(B)
89
25
(C)
104
25
(D)
112
25
【109C21】
Ans：(D)
12
已知
(1,1)
u =
，
(
4,
1)
v
x
y
=
+
−
及
(2 , )
w
x y
=
。若
u
與
v
垂直且
u
與
w
平行，則下列何者正確？
(A)
1
x =
(B)
2
y = −
(C)
1
y =
(D)
2
x = −
【108C01】
Ans：(B)
已知
1
a = ，
5
b =
，
2
a b
= −
。若
(1
)
ta
t b
+ −
和
a b
−
垂直，其中
t 為實數，則 t = ？
(A)
7
10
(B)
3
3
(C)
3
4
(D)
5
2
【106C06】
Ans：(A)
已知向量
a =
( −6 , 8 )且與
b
之夾角為
60
，則向量
a
在
b
上的正射影長為何？
(A) 5 (B) 7 (C)
5 3
(D) 10 【105C06】
Ans：(A)
已知平面上四點坐標為
A( 57 , 23 )、B( 7 , −2 )、C( 5 , 12 )、D( x , y )。
若向量
7
3
4
4
AD
AB
AC
=
−
，則
x
y
+ =
？
(A) −4 (B) −2 (C) 2 (D) 4 【104C08】
Ans：(A)
已知平面三向量
(3, 4)
a =
，
( , 9)
b
x
=
− ，
( 8, )
c
y
= −
。設
a
b
⊥
，
//
b c
，則 y x
− = ？
(A) −18 (B) −6 (C) 6 (D) 18 【103C01】
Ans：(B)
設平面二向量
(2 cos ,sin )
u
=
，
(sin , 2 cos )
v
=
且其內積
1
u v
=
，若
0
2
，則
之值
可能為何？
(A)
12
(B)
6
(C)
4
(D)
3
【103C20】
Ans：(A)
設向量𝑎⃑ = ( 3 , 4 )，向量𝑏⃑⃑//𝑎⃑ ，且𝑎⃑ ∙ 𝑏⃑⃑ =−50，則 2
3
a
b
+
=？
(A) 20 (B) 40 (C) 60 (D) 80 【102C09】
Ans：(A)
13
設向量
( , 2)
u
a
=
，
(3, 2 )
v
a
=
，
( 1, 2)
w = −
，則下列敘述何者正確？
(A) 若
2u v
+
與
w
平行，則
3
= −
a
(B) 若 (2
)
0
u
v w
+ = ，則
5
2
= −
a
(C) 若
2
5
u
v
+ =
，則
1
2
= −
a
(D) 若
2u
v
w
+ =
，則
0
=
a
【101C09】
Ans：(B)
平面上四點
A(1,1)、B(a,2)、C(b, 1
− )、D(0, 2
− )，其中 b 為正數，若
AB
與
CD
互相平行，
BD
與
AC
互相垂直，求
b
a
2
+
之值為何？
(A) 7 (B) 8 (C) 9 (D) 10 【101C16】
Ans：(D)
已知兩向量
a
、
b
互相垂直。若
4 5
a =
，
5 5
a b
+ =
，則
b =
？
(A)
5
(B)
2 5
(C)
3 5
(D)
4 5
【100C03】
Ans：(C)
設
A( −13 , −19 )、B( x , y )為平面上相異兩點。若向量
AB
與向量
(5,12)
u =
同方向且
26
AB =
，則
3
4
x
y
−
=
？
(A) −103 (B) −29 (C) 29 (D) 103 【100C16】
Ans：(B)
在坐標平面上的平行四邊形ABCD (按順序)中，若
AB =
( 4 , 8 )、
AD =
( 1 , 4 )，則
AC
BD
+
=
？
(A)
4 5
17
+
(B) 18 (C)
8 5
2 17
+
(D) 36 【99C04】
Ans：(B)
在
ABC
中，若 D 為線段
BC
的中點，且
9
AB =
、
5
AC =
，則向量內積
AD BC
=
？
(A) −28 (B) −14 (C) 14 (D) 28 【99C23】
Ans：(A)
14
設
(4, 3)
a =
，
( , )
b
x y
=
為平面上兩向量，且
2
2
40
x
y
+
=
，則此兩向量的內積
a b
的最大值
為何？
(A)
10 10
(B)
12 10
(C)
14 10
(D)
16 10
【98C14】
Ans：(A)
15
ch04_式的運算
若
5
(2
1)(
2)
2
1
2
A
B
x
x
x
x
=
+
+
−
+
−
，其中
A、B 為實數，則 3A + 2B =？
(A) −7 (B) −6 (C) −5 (D) −4 【113C01】
Ans：(D)
2
1
1
1
1
1
2 1
2 1
2 1
−
+
+ =
+
+
+
？
(A)
6 5 2
+
(B)
8 5 2
−
(C)
6 5 2
−
(D)
8 5 2
− +
【113C12】
Ans：(D)
已知方程式
2
4
2
5
0
x
x
−
− =
的兩根為
、
，則
=？
(A)
5
4
−
(B)
1
2
−
(C)
1
2
(D)
5
4
【112C01】
Ans：(A)
下列何者正確？
(A) 對任意實數 x，
3
3
x
x
=
(B) 對任意實數 x，
2
4
2
x
x
+
= +
(C) 對任意實數 x，
2
x
x
=
(D) 對任意實數 x，
3
3
8
2
x
x
−
= −
【112C02】
Ans：(A)
已知
1
i = −
且
a、b 為實數。若 a、b + 2i 為−1 + ai 為實係數三次方程式
( )
0
f x =
之三根，
則下列多項式何者可能為
( )
f x
？
(A)
3
10
x
x
− +
(B)
3
10
x
x
+ +
(C)
3
2
4
9
10
x
x
x
−
+
−
(D)
3
2
4
9
10
x
x
x
+
+
+
【112C12】
Ans：(D)
若
2
2
7
(
2)(
2)(
3)
2
2
3
x
x
A
B
C
x
x
x
x
x
x
+
+
=
+
+
−
+
+
−
+
+
，則
A + B + C =？
(A) 1 (B) 5 (C) 10 (D) 15 【111C05】
Ans：(A)
16
若四次多項式
4
3
2
6
5
2
ax
bx
x
x
+
+
+
+
除以
2
(
1)
x +
所得的餘式為
3
4
x +
，則
a b
+ =
？
(A) 12
− (B)
6
−
(C) 4
− (D) 2
− 【111C10】
Ans：(B)
若
3
1
(
3)(
1)
3
1
x
A
B
x
x
x
x
−
=
+
−
−
−
−
，其中
A、B 為實數，則下列何者正確？
(A) A = 2 (B) B = 1 (C) A = −2 (D) B = −1 【110C01】
Ans：(D)
已知三次多項式
3
2
( )
f x
ax
bx
cx d
=
+
+ +
滿足
(1)
(2)
( 2)
2
f
f
f
=
=
− =
且
( 1)
8
f −
=
，則下列何者
正確？
(A) a = −1 (B) b = 1 (C) c = −4 (D) d = 4 【110C15】
Ans：(C)
已知多項式
( )
f x
除以
2
(
1)(
1)
x
x
x
−
+ +
所得之餘式為
2
3
5
2
x
x
+
−
，則
( )
f x
除以
2
1
x
x
+ +
所得
之餘式為何？
(A) −4 (B) 2x – 5 (C) 6 (D) 8x – 5 【109C03】
Ans：(B)
設
、
為方程式
2
5
0
x
x
k
+
+ =
之二根，已知多項式
2
( )
2
7
5
f x
x
x
=
+
+
除以
x
−
、
x
−
所得
的餘式分別為
−1、2，則 k =？
(A) 4 (B) 5 (C) 6 (D) 7 【109C17】
Ans：(C)
已知
( )
f x
與
( )
g x
均為多項式，若以
2
3
2
x
x
−
+
除
( )
f x
所得餘式為
3
4
x −
，以
1
x −
除
( )
g x
所
得餘式為
5，則以
1
x −
除
( )
( )
f x
g x
+
所得餘式為何？
(A) −4 (B) −3 (C) 3 (D) 4 【108C07】
Ans：(D)
17
已知
2
2
2
5
6
(
2)(
1)
2
1
x
x
A
Bx C
x
x
x
x
+
+
+
=
+
−
+
−
+
，其中
A、B 與 C 為實數，則 A + 2B + 3C =？
(A) −5 (B) 0 (C) 8 (D) 10 【108C08】
Ans：(A)
若
4
3
2
( )
2
f x
x
x
kx
=
− +
−
為整係數多項式，其中
k > 0 且
( )
f x
有整係數一次因式
x h
−
，則
k
h
+ =
？
(A) 3 (B) 2 (C) 1 (D) 0 【107C09】
Ans：(A)
若一元二次方程式
2
(
5)
3
0
x
a
x a
+ −
+ + =
有兩正根，滿足
a 的實數解為 m a n
，則 m n
+ = ？
(A) −4 (B) −3 (C) −2 (D) 1 【107C20】
Ans：(C)
求方程式
2
2
1
2
4
2
2
x
x
x
x
−
=
+
−
+
−
所有解的和為何？
(A) −3 (B) −2 (C) −1 (D) 0 【106C07】
Ans：(C)
已知
a、b 為實數，若
3
2
( )
6
f x
x
ax
bx
=
+
+
−
，
2
( )
7
6
g x
x
x
=
−
+
，且
( )
f x
可被
( )
g x
整除，求
2
3
a
b
+
之值。
(A) 23 (B) 36 (C) 39 (D) 45 【105C07】
Ans：(A)
已知
A、B、C 為常數，且對任意 x 均滿足
2
2
2
3
9
3
(
1)(
2)
1
2
(
2)
x
x
A
B
C
x
x
x
x
x
+
−
=
+
+
−
+
−
+
+
，求
B 之值。
(A) −1 (B) 0 (C) 1 (D) 2 【105C08】
Ans：(D)
將
4
3
3
(
3
2
5)(
2)(
3)
x
x
x
x
x
−
+
−
−
+
乘開化簡後，
3
x
項的係數為何？
(A) −5 (B) −3 (C) 3 (D) 5 【104C05】
Ans：(C)
18
已知
1
i = −
且
a、b 為實數，若
(2
)(
) 15 5
i a bi
i
+
+
=
+
，則
a b
+ =
？
(A) 4 (B) 6 (C) 8 (D) 10 【104C09】
Ans：(B)
已知
a、b、c、d 為實數，若
3
2
3
2
2
5
3
(
1)
(
1)
(
1)
x
x
x
a x
b x
c x
d
+
−
− =
+
+
+
+
+ +
，則
abcd =？
(A) −20 (B) −10 (C) 10 (D) 20 【104C17】
Ans：(C)
求
3
3
3
( 3
2)( 9
2 3
4)
−
+
+
之值為何？
(A) −5 (B) −3 (C) 8 (D) 11 【103C05】
Ans：(A)
設
、
為方程式
2
5
3
0
x
x
−
+ =
的兩根，則
+
之值為何？
(A)
7
3
−
(B)
17
3
(C)
19
3
(D)
20
3
【103C14】
Ans：(C)
已知
m、n 為實數，Q(x)為二次多項式。若
4
3
2
2
5
(
3
2) ( )
x
mx
x
x n
x
x
Q x
−
−
−
+ =
−
+
，則
2m n
+ =
？
(A) −6 (B) −2 (C) 4 (D) 8 【102C02】
Ans：(D)
已知
a、b、c 為實數。若
3
2
x
時，等式
2
2
2
4
6
3
(2
3)
2
3
(2
3)
x
x
b
c
a
x
x
x
−
−
= +
+
−
−
−
恆成立，則
2
a b
c
+ +
=
？
(A) −4 (B) −2 (C) 2 (D) 4 【102C19】
Ans：(B)
19
已知
k 為實數，且二次方程式
2
2
9
(12
18)
(4
12
5)
0
x
k
x
k
k
+
+
+
+
+ =
有二實根。若其中一個根大
於
1，另一根小於 0，則 k 之範圍為何？
(A)
5
2
2
k
− −
(B)
3
2
2
k
− −
(C)
3
1
2
k
− −
(D)
1
1
2
k
− −
【102C25】
Ans：(A)
已知
a 和 c 為實數，若複數
i
a
2
+
為一元二次方程式
0
2
2
=
+
+
c
x
x
的一根，則
c 之值為何？
(A)
4
− (B) 2
− (C) 3 (D) 5 【101C10】
Ans：(D)
若
1
2
+
+ x
x
為
2
2
3
+
+
+
bx
ax
x
的因式，則下列何者正確？
(A)
b
a
(B)
10
2
2
=
+ b
a
(C)
2
−
=
−b
a
(D)
6
=
+ b
a
【101C12】
Ans：(D)
設
1
−
x
和
1
+
x
為多項式
5
2
5
2
3
4
5
−
+
+
+
+
x
x
bx
ax
x
的因式，則
b
a +
3
之值為何？
(A)
3
−
(B) 1 (C) 3 (D) 6 【101C13】
Ans：(A)
已知
( )
f x
為一實係數多項式，且
3
( )
27
2
f
=
，
5
(
)
8
3
f −
=
。若
( )
f x
除以
2
6
15
x
x
+ −
的餘式為
ax b
+
，則
a b
+ =
？
(A) 4 (B) 6 (C) 18 (D) 24 【100C11】
Ans：(D)
若
、
為方程式
3
1
x
x
− = −
的兩相異實根，則
2
2
(
1)(
1)
+
+ = ？
(A) −1 (B)
1
3
(C) 1 (D)
5
3
【100C17】
Ans：(B)
設a、b、c、d為實數，若
2
1
x −
為
3
2
( )
f x
ax
bx
cx d
=
+
+ +
之因式，且 f (x) 除以 x − 2 餘 6，
則
2a b
+ =
？
(A) −4 (B) −2 (C) 2 (D) 4 【99C17】
Ans：(C)
20
令
1
i = −
，若1 + i為方程式
2
2
6 2
0
x
kx
i
+
+ + =
之一根，則 k =？
(A) −6 (B) −4 (C) −5 + i (D) −10 + 2i 【99C18】
Ans：(A)
設 f (x) 為實係數三次多項式，若
(1)
(1
)
0
f
f
i
=
+ =
且
(0)
0
f
，則下列何者正確？
(A)
( 2)
0
f −
(B)
(2)
0
f
(C)
(4)
0
f
(D)
(6)
0
f
=
【99C24】
Ans：(C)
若
α、β 均為實數，且
3
2
5
= +
，
3
2
5
= −
，則
+ =
？
(A) −1 (B) 1 (C) 2 (D) 4 【98C05】
Ans：(B)
設
( )
p x
為一元二次多項式。若
(1) 1
p
=
，
1
(2)
2
p
=
，
1
(3)
3
p
=
，則
(4)
p
之值為何？
(A)
2
3
−
(B)
1
2
−
(C)
1
2
(D)
2
3
【98C06】
Ans：(C)
設
2
2
2
5
2
4
(
1)(
1)
1
1
x
x
A
Bx C
x
x
x
x
x
x
+
−
+
=
+
−
+ −
−
+ −
，則
A B C
+ + =
？
(A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 6 【98C07】
Ans：(D)
已知
1
i = −
，且
a、b 均為實數。若
1
3i
−
為方程式
3
2
3
0
x
x
ax b
+
+
+ =
的一根，則
a b
+ =
？
(A) −4 (B) −2 (C) 8 (D) 14 【98C08】
Ans：(D)
21
ch05_直線與圓
設直線
L
1
的斜角為
35，已知直線 L
2
與
L
1
相互垂直，如圖所示，則
L
2
的斜角為何？
(A) 35
(B) 55
(C) 125
(D) 155 【113C02】
Ans：(C)
已知一直線
:
5
L y
x
= −
與圓
C 相切，且圓 C 的圓心為( 3 , −4 )，則圓 C 的半徑為何？
(A)
2
(B)
2 2
(C)
3 2
(D)
4 2
【113C04】
Ans：(A)
若坐標平面上四點
A( 1 , 2 )、B( 2 , −3 )、C( 2 , 7 )、D( a , −10 )在同一圓上，則 a =？
(A) 19 或 9 (B) 20 或 8 (C) 24 或 6 (D) 27 或 3 【112C16】
Ans：(A)
若
A( 1 , 4 )、B( 6 , 2 )所連接的線段
AB
與直線
:
1 0
L x
y
− + =
相交於
P 點，則
AP
BP
=
？
(A)
2
5
(B)
3
7
(C)
1
2
(D)
3
5
【111C07】
Ans：(A)
已知圓
2
2
2
4
3
0
x
y
x
y
+
+
+
− =
與相異兩直線
1
:
1 0
L x
y
+ + =
及
2
:
10
0
L
ax by
+
+
=
分別交於兩
點，且
1
2
//
L
L
，如圖所示。若此圓圓心到兩直線
1
L
、
2
L
的距離相等，則
a + b =？
(A) 2 (B) 4 (C) 6 (D) 10 【111C07】
Ans：(B)
1
L
2
L
22
若圓
C 與 y 軸相切，且圓心為拋物線
2
4
5
y
x
x
=
+
+
之頂點，則下列何者為圓
C 的方程式？
(A)
2
2
4
2
4
0
x
y
x
y
+
+
−
+ =
(B)
2
2
4
2
1 0
x
y
x
y
+
−
+
+ =
(C)
2
2
4
2
4
0
x
y
x
y
+
−
+
+ =
(D)
2
2
4
2
1 0
x
y
x
y
+
+
−
+ =
【110C08】
Ans：(D)
已知
a、b 為實數。若直線
1
:
L y
ax b
=
+
與
2
:
L
y
bx a
=
+
相互垂直，且
2
2
50
a
b
+
=
，則
1
L
與
2
L
的交點與原點的距離為多少？
(A)
4 3
(B) 7 (C)
5 2
(D)
2 13
【110C13】
Ans：(B)
若
k 為實數，且點 P( 1 , k )為曲線
2
2
2
4
1 0
kx
y
x
y
k
+
+
−
+ − =
上之一點，求曲線之圖形為何？
(A) 圓 (B) 拋物線 (C) 橢圓 (D) 雙曲線 【109C15】
Ans：(A)
在人工智慧的分類技術中，用到以直線分類不同物件的概念。設平面上有七個點
A( 1 , 3 )、
B( 3 , 2 )、C( −1 , 4 )、D( −1 , 2 )、E( 1 , −2 )、F( −2 , −1 )、G( −3 , 2 )分屬●、▲二類，其中直
線
L：
3
4
12
0
x
y
+
−
=
未能將它們正確分類，如圖所標示。若將
L 平行移動至新的位置成為新
直線
L
1
且能達到正確分類目的，則下列何者可為
L
1
的直線方程式？
【109C24】
(A)
3
4
2
0
x
y
+
+ =
(B)
3
4
6
0
x
y
+
− =
(C)
6
8
3
0
x
y
+
+ =
(D)
6
8
3
0
x
y
+
− =
Ans：(D)
23
已知坐標平面上三直線
1
: 3
3
2
L
x
y
+
=
、
2
: 2
3
3
L
x
y
−
=
、
3
:
2
L
x ay
−
= −
，且這三直線將平面
分成六個區域，則
a 不可以是下列哪一個值？
(A)
3
2
(B) 1 (C) −1 (D) −9 【108C09】
Ans：(B)
已知坐標平面上三直線
L、L
1
與
L
2
，若直線
L 為水平線，L
1
與
L
2
的斜率分別為
2
3
與
3
2
−
，且
直線
L 被 L
1
與
L
2
所截出的線段長為
26，則此三角形所圍成的三角形面積為多少平方單位？
(A) 39 (B) 52 (C) 78 (D) 156 【108C19】
Ans：(D)
已知直線
L
1
通過
( 2 , 3 )、( 1 , 5 )兩點，且直線 L
2
的
x 截距是 1、y 截距是 4。若 L
1
與
L
2
的斜
率分別為
m
1
與
m
2
，則下何者正確？
(A)
1
2
0
m
m
(B)
1
2
0
m
m
(C)
2
1
0
m
m
(D)
2
1
0
m
m
【107C01】
Ans：(D)
若兩直線
3
4
6
x
y
+
=
與
9
12
x
y
k
+
=
的距離為
2，則 k 的值可能為下列何者？
(A) −48 (B) −12 (C) 10 (D) 24 【107C02】
Ans：(B)
設點
O
1
為圓
2
2
:
6
4
9
0
C x
y
x
y
+
−
+
+ =
之圓心。今以另一點
O
2
為圓心、
1
2
O O
為半徑作一圓，
且此圓與圓
C 交於 A、B 兩點。若
2
3
AO =
，則
AB =
？
(A)
2 2
3
(B)
4 2
3
(C)
2 2
(D)
8 2
3
【107C15】
Ans：(D)
設
P( x , y )為圓
2
2
6
8
0
x
y
x
y
+
−
+
=
上的動點，若
4
3
5
x
y
+
+
的最大值為
M，最小值為 m，則
M
m
+ =
？
(A) −5 (B) 0 (C) 5 (D) 10 【107C25】
Ans：(D)
24
設直線
2
11
x
y
+ =
與拋物線
2
4
y
x
=
−
在第二象限的交點為
A，在第一象限的交點為 B，若線段
AB
上一點
P 滿足
:
2 :1
AP BP =
，則
P 點坐標為何？
(A)
1 31
( ,
)
3 3
(B)
( 2, 26)
−
(C)
( 1,13)
−
(D)
7 47
(
,
)
3
3
−
【106C01】
Ans：(A)
設打水漂遊戲中石頭落入水中的漣漪是以圓的形式展現。若某人向河面擲出石頭的方向是沿
著直線
1
y
x
= −
行進，下列哪一個圓方程式可為此漣漪的形式？
(A)
2
2
2
4
1 0
x
x
y
y
−
+
+
+ =
(B)
2
2
4
2
4
0
x
x
y
y
−
+
−
+ =
(C)
2
2
2
4
4
0
x
x
y
y
−
+
−
+ =
(D)
2
2
4
6
9
0
x
x
y
y
−
+
−
+ =
【106C20】
Ans：(B)
若直線
3
2
6
0
x
y
−
+ =
的斜率為
a，y 截距為 b，x 截距為 c，且此直線與兩坐標軸所圍成的封閉
區域面積為
d，求
ab cd
−
之值。
(A)
3
2
(B)
9
2
(C)
15
2
(D)
21
2
【105C01】
Ans：(D)
已知圓的方程式為
2
2
2
2
1 0
x
y
x
y
+
−
−
+ =
；直線方程式為
1
0
x
y
+ − =
，若圓和直線的交點分別
為
A 與 B，圓心為 O，則下列何者正確？
(A)
1
2
AB =
(B) 圓心 O 到直線
AB
的距離為
1
2
(C) 圓心 O 與 A、B 形成的三角形
ABO
面積為
1
2
(D) 交點 A、B 的坐標分別為( −1 , 0 ) , ( 0 , 1 ) 【105C20】
Ans：(C)
25
已知
P( a , 1 )、Q( −1 , b )為平面上兩點。若 P 為直線
: 3
4
2
L
x
y
−
=
上一點，且直線 PQ 與直
線
L 垂直，則
a b
+ =
？
(A) 7 (B) 9 (C) 11 (D) 13 【104C16】
Ans：(A)
已知
a、b 為實數，若直線
2
0
x ay b
+
+ =
通過
10
2
5
0
x
y
−
+ =
與
6
7
0
x
y
− + =
之交點，且斜率
為
2，則
a b
+ =
？
(A) −12 (B) −10 (C) 10 (D) 12 【102C22】
Ans：(A)
已知
1
L
、
2
L
為與直線
3
4
0
x
y
+
=
平行的二直線。若
1
L
過點
( −29 , 23 )，
2
L
過點
( 31 , 23 )，則
此二平行線間的距離為何？
(A) 23 (B) 36 (C) 48 (D) 60 【102C24】
Ans：(B)
設直線
0
10
3
:
=
+
+ y
kx
L
與圓
4
:
2
2
=
+ y
x
C
沒有交點，則常數
k 的範圍為何？
(A)
4
4
−
k
(B)
2
2
−
k
(C)
2
2
−
k
(D)
2
−
k
或
2
k
【101C06】
Ans：(A)
設
P( 2
− , 4 )與 Q( 2 , 2
− )，若直線
0
3
:
=
+
+
b
y
ax
L
為 PQ 的垂直平分線，求
b
a +
之值為何？
(A)
2
15
−
(B)
5
−
(C) 1
− (D)
2
3
【
101C15】
Ans：(B)
設兩直線
1
: 3
4 0
+ − =
L
x
y
與
2
:
3
4 0
+ − =
L x
y
，則
L
1
與
L
2
交角為銳角的角平分線方程式為
何？
(A)
2
0
+ − =
x
y
(B)
0
− =
x
y
(C)
2
3
0
+ − =
x
y
(D)
2
0
− =
x
y
【101C24】
Ans：(A)
26
已知一圓方程式為
2
2
6
8
0
x
y
x
y
+
+
−
=
。下列敘述何者正確？
(A) 點( 1 , 0 )落在圓外 (B) 此圓通過( −3 , 4 )
(C) 此圓的半徑為 25 (D) 此圓的圓心為( 0 , 0 ) 【100C06】
Ans：(A)
設直線
1
L
的斜率為
−2 且通過點( 0 , −4 )，又直線
2
L
的
x、y 軸截距分別為 1、2，則下列敘述
何者正確？
(A)
1
L
與
2
L
相交於點
( 2 , −8 ) (B)
1
L
與
2
L
相交於點
( 4 , −6 )
(C)
1
L
與
2
L
平行且兩線相距
2
5
(D)
1
L
與
2
L
平行且兩線相距
6
5
【100C12】
Ans：(D)
若直線
24
7
53
x
y
−
=
與二直線
0
x =
、
7
x =
分別交於
A、B 二點，則線段
AB
的長度為何？
(A)
24
7
(B)
53
7
(C) 25 (D) 53 【100C15】
Ans：(C)
關於直線
:
4
28
L x
y
+
=
，下列敘述何者正確？
(A) 斜率為7 (B) y截距為7 (C) 通過點 ( 7 , 7 ) (D) x截距為7 【99C01】
Ans：(B)
設三直線
1
:
3
2
0
L x
y
+
− =
，
2
: 3
2
0
L
x
y
+ + =
，
3
:
2
0
L
x
y
− − =
，且
1
L
與
2
L
相交於 A 點，則
過 A 點且與
3
L
平行的直線，不通過那一個象限？
(A) 第一象限 (B) 第二象限 (C) 第三象限 (D) 第四象限 【99C05】
Ans：(D)
已知直線
: 3
4
5
0
L
x
y
+
+ =
與圓
2
2
:
2
4
4
0
C x
y
x
y
+
+
−
− =
兩者的交點個數為a，且圓C的圓心
到直線L的距離為b，則下列何者為正確？
(A)
3
a b
− = −
(B)
1
a b
− = −
(C)
4
a b
+ =
(D)
5
a b
+ =
【99C06】
Ans：(C)
27
在坐標平面上，若
ABC
之三頂點坐標分別為 A ( 2 , 0 )、B ( 4 , 0 )與C ( 4 , 3 )，則
ABC
之
三邊上共有多少點與原點的距離恰為整數值？
(A) 2個 (B) 4個 (C) 6個 (D) 8個 【99C21】
Ans：(C)
下列敘述何者錯誤？
(A) 直線
:
2
4
L x
y
+
=
的斜率為
1
2
−
(B) 方程式
4
x =
的圖形是一條通過點
( 4 , 5 )，且平行 y 軸的直線
(C) 通過點 A( 1 , 2 )、B( −2 , 3 )的直線方程式為
3
1 0
x
y
− − =
(D) 當點 A( −1 , 1 )、B( 2 , x )、C( 3 , 11 )的為共線的三點時，則
17
2
x =
【98C15】
Ans：(C)
若圓
C 的方程式為
2
2
6
4
4
0
x
y
x
y
+
−
−
+ =
，則下列各方程式的圖形，何者與圓
C 相切？
(A)
3
4
1 0
x
y
+
− =
(B)
3
4
2
0
x
y
+
− =
(C)
3
4
7
0
x
y
+
− =
(D)
3
4
14
0
x
y
+
−
=
Ans：(B) 【98C17】
28
ch06_數列與級數
小美想用火材棒排成一個
n 層正三角形金字塔，例如當 n =1、2、3 時，如圖所示。
若依此規則，則排出一個
50 層金字塔恰需要多少根火材棒？
(A) 3675
(B) 3825
(C) 7500
(D) 7803 【113C20】
Ans：(B)
晴晴在
2018 年初以一股 50 元買進某一檔股票，在 2023 年初該股經配股、配息還原後，可以
還原股價為一股
60 元。若此股價 60 元可視為以每年固定年利率 r 進行複利計算，則 r 可以
從下列哪個算式計算求得？
(A)
5
50
60
r
=
(B)
5
50 (1
)
60
r
+
=
(C)
2
3
4
5
50 (
)
60
r
r
r
r
r
+ + + +
=
(D)
2
3
4
5
50 [(1
) (1
)
(1
)
(1
)
(1
) ]
60
r
r
r
r
r
+ + +
+ +
+ +
+ +
=
【112C13】
Ans：(B)
已知等比數列
k
a
的首項
1
2
a =
，公比
3
r =
。若前
n 項和大於 2022，則滿足條件的最小正整
數
n =？
(A) 5 (B) 7 (C) 9 (D) 11 【111C02】
Ans：(B)
若
7
1
2
2
1
m
m
a
m
=
−
=
−
、
6
0
1
2
1
k
k
b
k
=
−
=
+
、
8
3
4
2
5
i
i
c
i
=
−
=
−
，則下列敘述何者正確？
(A) b > a > c (B) c > a > b (C) c > a = b (D) a = b > c 【110C06】
Ans：(D)
某棒球投手自
4 月 1 日開始每天練投，他每日投球數為等差數列。若 4 月 5 日投球數為 41
個，
4 月 13 日為 73 個，則他 4 月份有幾天投球數超過 100 個？
(A) 10 (B) 11 (C) 12 (D) 13 【109C09】
Ans：(B)
29
已知
n
a
為等差數列且滿足
1
0
a
、
5
12
3
a
a
=
。則當
n 為多少時，
n
a
開始為負數？
(A) 14 (B) 15 (C) 16 (D) 17 【108C13】
Ans：(C)
10
1
(2
3
2)
n
n
n
=
+
+
=
？
(A) 1268 (B) 1298 (C) 2017 (D) 2231 【107C13】
Ans：(D)
設
a、b、c 三數成等比數列，且滿足
9
a b c
+ + =
及
2
2
2
189
a
b
c
+
+
=
，則等比中項
b =
？
(A) −6 (B) −2 (C)
1
2
(D) 6 【106C13】
Ans：(A)
設
a、b、c、d、e、f 六數成等比數列，且已知
168
a c e
+ + =
，
84
b d
f
+ + =
，則
d 之值為
何？
(A) 6 (B) 9 (C) 16 (D) 32 【105C13】
Ans：(C)
已知四個正數
a、b、c、d 為一等比數列，若
20
a b
+ =
，
65
a b c d
+ + + =
，則 a =？
(A) 5 (B) 6 (C) 7 (D) 8 【104C18】
Ans：(D)
設一等比級數的第三項為
4，公比為
1
3
−
，前
n 項和為
6560
243
，則
n 之值為何？
(A) 7 (B) 8 (C) 9 (D) 10
【103C04】
Ans：(B)
設
a、b、c 三個數均為正實數，且已知
36
a c
+ =
，若
a、b、12 三數成等差數列，且 2、b、c
三數成等比數列，則下列敘述何者有誤？
(A)
32
b c
+ =
(B)
12
a b
+ =
(C)
2
2
b
c
=
(D)
2
12
b
a
= +
【103C22】
Ans：(A)
30
求
102 到 2013 之間，個位數字為 7 的正整數共有幾個？
(A) 190 (B) 191 (C) 192 (D) 193 【102C01】
Ans：(B)
若兩數列
2 , 2a , 18 及
4
+
a
, 2 ,
7
+
a
都是等比數列，則下列何者正確？
(A)
4
6
−
−
a
(B)
2
4
−
−
a
(C)
4
2
a
(D)
6
4
a
【101C11】
Ans：(B)
設
p、q 為二相異正整數，且
n
a
為一等差數列的第
n 項。若
p
a
q
= ，
q
a
p
= ，則
p q
a
+
= ？
(A) 0 (B) p (C) q (D)
p q
+
【98C13】
Ans：(A)